内容发布更新时间 : 2024/9/23 18:32:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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一线三等角模型

一.一线三等角概念

“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼， “K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。 二.一线三等角的分类

全等篇

CDDCBCDAP

APB

APB同侧

锐角 直角 钝角

DDDABPABAPBCPC

C

D 异侧

相似篇

DCDCCAP

锐角 直角 钝角

APBAPBB同侧

DDDAABPABCBPPC

C 异侧

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三、“一线三等角”的性质

1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.

3.中点型“一线三等角”

如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.

4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且?BOC?90??造“一线三等角”.

1?BAC时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构2

如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，

1?BOC?90???BAC这是内心的性质，反之未必是内心.

2在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF，交于点 P，则点 D 是△PEF 的旁心.

5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ）

图 3-5

其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题

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四、“一线三等角”的应用

1.“一线三等角”应用的三种情况.

a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；

b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题； c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.

体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.

2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.

3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似

坐标系中，要讲究“线”的特殊性

如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角

当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。

上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握.

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