2011-2012学年合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷和参考答案 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 12:40:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2011----2012学年第二学期期末考题解答

一.填空题(每小题3分, 满分15分)

1. 过直线L:x?1y?2z?2??且垂直于平面3x?2y?z?5的平面方程是2?32_________.

【解】应填:x?8y?13z?9?0.

???直线L的方向向量s?{2,?3,2}.已知平面的法向量n1?{3,2,?1},设所求平面的法??????向量为n,由题意知n?s且n?n1,故可取

???ijk????n?s?n1?2?32?{?1,8,13},

32?1由条件知,所求平面过点P0(1,?2,2)于是所求平面方程为

?(x?1)?8(y?2)?13(z?2)?0,

x?8y?13z?9?0.

2. 设x2?2xy?y?zez?1,则dz【解】应填:?2dx?dy.

由x?2xy?y?ze?1,两边求全微分,得

2z(0,1)? .

2xdx?2ydx?2xdy?dy?(1?z)ezdz?0,

当x?0,y?1时,代入原方程得z?0,

所以

dz

(0,1)??2dx?dy.

3. 椭圆抛物面?:z?2x?y在点P0(1,?1,3)处的法线方程是___________. 【解】应填:

22x?1y?1z?3??. 4?2?1曲面?在点P0(1,?1,3)处的法向量可取为

1

?n??4x,2y,?1?(1,?1,3)??4,?2,?1?,

于是曲面?在点P0(1,?1,3)处的法线方程为

x?1y?1z?4??2?3?1.

4. 曲面z?x2?y2与z?x2?y2所围立体的体积为 .

【解】应填:

?6. V????dv?2?0d?1r????0rdr?r2dz?6.

5. 设L为上半圆周y?1?x2,则曲线积分??x2L?xy?y2?ds=____________.【解】应填:?.

由对称性,代入技巧及几何意义可得

?2L?x?xy?y2?ds??Lds?0??

二.选择题(每小题3分, 满分15分)

1.方程y???3y??2y?1?2x?3ex的特解形式为( ). (A)(ax?b)ex (B) (ax?b)xex (C) ax?b?cex (D) ax?b?cxex 【解】选(D)

2.设un1n?(?1)sinn,则级数( ). (A)?????u2n与

?un都收敛 (B)

n?1n?1?u2n与

n?1?un都发散n?1(C)

?????u2n收敛,而

n发散 (D)

u2n发散,而

n收敛

n?1?un?1?n?1?un?1【解】选(C)

2

3.二元函数f(x,y)的两个偏导数fx¢(x,y),fy¢(x,y)在点P0(x0,y0)处都连续是f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分的( ) (A) 充分条件 (B) 必要条件

(C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件

【解】若fx¢(x,y),fy¢(x,y)在点P0(x0,y0)都连续,则f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分,

选(A) 4.

?10dx?2x1xy1?y3dy?( )

(A)

12?2?1 (B)

?13?2?1 (C)?112 2 (D)32【解】 原积分?

?dy?01y011y2dy1?dx??021?y331?y3xy?2?1. 选(B)

??x2???x?05. 设f(x)??,则周期为2?的函数f(x)的傅立叶级数在x?2?处

?x??0?x??收敛于 . (A)??2 (B)?? (C)0 (D)?

2【解】选(A)

三. (10分) 设z?f(xy,xy)?g(),其中f有二阶连续偏导数,g有二阶导yx?2z数,求.

?x?y【解】根据复合函数求偏导公式得

?z1y?f1??y?f2???g??(?2), ?xyx3

?2z???z???1y??????f1??y?f2???g??(?2)??x?y?y??x??y?yx?x11xy1?f1??y[f11??x?f12???(?2)]?2f2??[f21??x?f22???(?2)]?g???3?g??2yyyyxx1xy1?f1??xyf11???2f2??3f22???3g???2g?yyxx

x2四. (10分) 求z?f(x,y)?x?y在闭区域D:?y2?1上的最大值和最小值.

422【解】在D的内部,

?fx??2x?0?(0,0)为驻点,且f(0,0)?0 ??f??2y?0?y在D的边界上,

x2x25x22222?y?1?y?1??z?x?y??1由444(?2?x?2)

dz5x??0?x?0,此时,y??1,,则有f(0,?1)??1,dx2比较上述函数值知,

f(?2,0)?4

函数z?f(x,y)?x?y在D上的最大值为4,最小值为-1.

五. (10分) 求微分方程y???22y??xex的通解. x1p?xex, x【解】不显含y,故令y??p,则y???p?,代入原方程得p??利用通解公式求得通解为

p?x(ex?C1),

积分得原方程通解为

1y?(x?1)ex?C1x2?C2.

2

六. (12分)(Ⅰ)试确定可导函数f(x),使在右半平面内,y[2?f(x)]dx?xf(x)dy为某函数u(x,y)的全微分,其中f(1)?2; (Ⅱ)求u(x,y); 【解】(Ⅰ)P?y[2?f(x)],Q?xf(x).

4

因为y[2?f(x)]dx?xf(x)dy是函数u(x,y)的全微分,所以有 即

?Q?P, ??x?yf(x)?xf?(x)?2?f(x),

xf?(x)?2f(x)?2. 上述微分方程的通解为

f(x)?1?所以

C.由f(1)?2得C?1, x21. x2f(x)?1? (Ⅱ)在右半平面内取(x0,y0)?(1,0),则

11u(x,y)??P(x,0)dx??Q(x,y)dy??0(x?)dy?y(x?).

10xxxyy

七. (12分) 求幂级数

??n(n?1)xn?1?n的收敛域及和函数.

【解】易求得其收敛域为(?1,1),令

S(x)??n(n?1)x?x?n(n?1)xnn?1n?1?n?1?x?S1(x), 其中 S1(x)??n(n?1)xn?1,

n?1??两边积分

?再积分

x0S1(x)dx???n(n?1)xn?10?xn?1dx??(n?1)xn,

n?1?(?0xx0S1(x)dx)dx???(n?1)xdx??xnn?10?x?n?1n?1x2. ?1?x因此

x22S1(x)?()???,

1?x(1?x)3故原级数的和

S(x)?

2x,x?(?1,1).

(1?x)3八. (12分) 计算积分I???(y?z)dzdx?(x?2z)dxdy?,其中?是抛物面

z?x2?y2(0?z?1),取下侧.

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