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鼎盛大华（经典资料）

⑶证明：函数f(x)是(0,??)上的每一点处都有导数，且xf?(x)?f(x)在(0,??)上恒成立，设F(x)?f(x)，xF?(x)?xf?(x)?f(x)x2?0在(0,??)时恒成立， 所以函数F(x)?f(x)x在(0,??)上是增函数， ………………………………………12分 因为x1?0,x2?0，所以x1?x2?x1?0,x1?x2?x2?0，

所以F(x1?x2)?F(x1?x2)1),F(x1x?2)F?(x)f(x2，即

xx?f(x1)f,(x1x?2)fx()?x?214分

1?2x1x12x，2所以f(x1f(x1?x2),f(xxf(x?2x)1)?xx2)?21，两式相加，得f(x1)?f(x2)?f(x分

1?x2x?x2)，161?x1220．⑴当k?3，a1a2a3?6则a1?a2?a3?6．

设cn?a3n?2?a3n?1?a3n，由an?3?3?an，得cn?1?cn?9，所以数列{cn}是公差为9的等差数列，S36?c1?c2??c2?61?2?11121?29??66．………………………………64分 ⑵若k?2时，a1?a2?a1?a2，又a1?a2， 所以a1?a2?2a2，所以a1?1，此时1?a2?a2，矛盾． ………………………………6分 若k?3时，a1?a2?a3?a1?a2?a3，所以a1?a2?a3?3a3，a1?a2?3，

所以a1?1,a2?2,a3?3，满足题意． ……………………………………………………8分 若k≥4时，a1?a2??ak?a1?a2??ak，所以a1?a2??ak?kak，即a1?a2??ak?1?k，

又因为a1?a2??ak?1?1?2??(k?1)≥2k?2?k，所以k≥4不满足题意．……10分

所以，a1?1，a2?2，a3?3，且an?3?3?an，

所以a3n?2?a1?3(n?1)?3n?2，a3n?1?a2?3(n?1)?3n?1，a3n?a3?3(n?1)?3n， 故an?n． ………………………………………………………………………………12分 ⑶又baan?bn?1??21?(1)n?8n?1?82 所以bn?1?bn?2??21?(12)

所以

bn?2b?1，所以?b12n?,?b2n?1?都是以为公比的等比数列, n22

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故

鼎盛大华（经典资料）

?1?61n23?2?(), n≥1,n为奇数,??2所以bn?? …………………………………………14分

n?1??14?(1)2, n≥2,n为偶数.??2令bn?bn?1?1，即?21?()12n?811?1，()n?8?，所以n≥13

221n为奇数时有,b1?b2?1,b3?b4?1，，b11?b12?1,b13?b14?1,b15?b16?1，

从而T2?T4??T12,T12?T14?，

n为偶数时，有b2?b3?1,b4?b5?1,从而T1?T3?,b12?b13?1,b14?b15?1,b16?b17?1，

，

?T13,T13?T15?注意到T12?0,T13?0，且T13?b13?T12?3T12?T12，

所以数列?bn?的前n项积Tn最大时n的值为13． ……………………………

苏北四市2011—2012学年度高三第二次质量检测

数学Ⅱ卷答案及评分标准

21．【选做题】

A．如图，连接OC，因为OA?OB,CA?CB，所以OC?AB．

E第 12 页 共 14 页 OD鼎盛大华（经典资料）

因为OC是圆的半径， 所以AB是圆的切线．……………3分 因为ED是直径，所以?ECD?90?，所以?E??EDC?90?， 又?BCD??OCD?90?,?OCD??ODC，

所以?BCD??E，又因为?CBD??EBC，

BCBD所以?BCD∽?BEC，所以??BC2?BD?BE， …………………5分

BEBCCD1BDCD1tan?CED??，?BCD∽?BEC，??． …………………7分

EC2BCEC2设BD?x，则BC?2x，因为BC?BD?BE，所以(2x)?x(x?6)，所以BD?2．9分 所以OA?OB?BD?OD?2?3?5． ………………………………10分

22?a+b?3,?ab??1??1??3??ab??3?B．设M??，则，故 ……………4分 ??cd??1??1??3??c+d?3．?????????cd????a+2b?9,?ab???1??9??，故 ………………………………………………7分 ??cd??2??15??c+2d?15．?????????14?联立以上两方程组解得a??1,b?4,c??3,d?6，故M=??． ………………10分 ?36??22xyC．椭圆的普通方程为??1，左焦点为(?4,0)，…………………………………4分

259?x?1?t,直线?（t为参数）的普通方程为2x?y?6?0，……………………………8分

y??4?2t?1所求直线方程为y??(x?4)，即x?2y?4?0． …………………………………10分

2b|a?b|?|a?2b|≥|x?1|?|x?2|，设?t， D．原式等价于

|a|a则原式变为|t?1|?|2t?1|≥|x?1|?|x?2|对任意t恒成立． ………………………2分

1?3t,t≥,?2?131?因为|t?1|?|2t?1|???t?2,?1?t?,最小值为t?时取到，其最小值为． …6分

222???3t,t≤?1,???2x?3,x≥2,339?所以有≥x?1?x?2??11,?x?2,解得x?[,]． ……………………10分

442?3?2x,x≤1．?

22．⑴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，E(2，，10)，C(0，，20)．

z D C1 1DP?(x，y，0)EP?(x?2，y?1，2)设P(x，，， y，2)，则1P EC?(?2，，10)． …………………………2分

A1 D E B1 第 13 页 共 14 页 C y B x A 鼎盛大华（经典资料）

因为D1P?平面PCE，所以D1P?EP， D1P?EC，所以D1PEP?0，D1PEC?0，

4?x?，??x(x?2)?y(y?1)?0，?x?0,?5故?解得? (舍去)或? …4分

8?2x?y?0．y?0．???y?．?5?即P(1664454848．………………6分 ??，,2)， 所以D1P?(，,0)，所以D1P?25255555548D1P与DE所成角为?，⑵由⑴知，设DE与平面PEC所成角为?，DE?(2,1,0),D1P?(,,0),D1P?平面PEC，

55则sin??cos??D1P?DE?D1PDE1655?80254 5?所以直线DE与平面PEC所成角的正弦值为

4． ………………………………………10分 5n?Cnn(2)，

1223323．⑴由二项式定理,得an?C0n?Cn2?Cn(2)?Cn(2)?2244所以a?C0n?Cn(2)?Cn(2)?24?1?2C2n?2Cn?，

24因为2C2n?2Cn?为偶数，所以a是奇数．……………………………………………4分

⑵由⑴设an?(1?2)n?a?b2(a，b?Z),则(1?2)n?a?b2, …………………5分 所以a2?2b2?(a?b2)(a?b2)?(1?2)n(1?2)n?(1?2)n， ……………………6分

当n为偶数时, a2?2b2?1,存在k?a2，使得an?a?b2?a2?2b2?k?k?1, … 8分 当n为奇数时，a2?2b2?1,存在k?2b2，使得an?a?b2?a2?2b2?k?1?k，9分 综上，对于任意n?N?，都存在正整数k，使得an?k?1?k． ………………10分

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