内容发布更新时间 : 2024/5/22 10:50:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

(四)函数与导数(2)

1．(2016·课标全国丙)设函数f(x)＝lnx－x＋1. (1)讨论f(x)的单调性；

x－1(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1<

lnx(3)设c>1，证明：当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x>cx. (1)解由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)， 1

f′(x)＝－1，令f′(x)＝0解得x＝1.

x

当00，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减． (2)证明由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0. 所以当x≠1时，lnx

11

故当x∈(1，＋∞)时，lnx

xxx－1即1<

lnx

(3)证明由题设c>1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，

c－1lnlncx

则g′(x)＝c－1－clnc．令g′(x)＝0，解得x0＝. lnc当x0，g(x)单调递增； 当x>x0时，g′(x)<0，g(x)单调递减． c－1

由(2)知1<

lnc

又g(0)＝g(1)＝0，故当00. 所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x>cx.

2．(2016·课标全国甲)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)． (1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．

1

解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f′(x)＝lnx＋－3，f′(1)

x＝－2，f(1)＝0，曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.

a?x－1?a?x－1?

(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于lnx－>0，设g(x)＝lnx－，则

x＋1x＋1x2＋2?1－a?x＋112a

g′(x)＝－＝，g(1)＝0.

x?x＋1?2

x?x＋1?2

①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)单调递增， 因此g(x)>0；

②当a>2时，令g′(x)＝0得， x1＝a－1－

?a－1?2－1，x2＝a－1＋

?a－1?2－1.由x2>1和x1x2＝1得x1<1，故当x∈(1，x2)

时，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此g(x)<0， 综上，a的取值范围是(－∞，2]． 3．(2016·北京)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围； (3)求证：a2－3b＞0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件．

(1)解由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，切线斜率k＝f′(0)＝b. 又f(0)＝c，所以切点坐标为(0，c)．

所以所求切线方程为y－c＝b(x－0)，即bx－y＋c＝0.(2)解由a＝b＝4得f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c， 所以f′(x)＝3x2＋8x＋4＝(3x＋2)(x＋2)， 令f′(x)＝0，得(3x＋2)(x＋2)＝0， 2解得x＝－2或x＝－，

3

f′(x)，f(x)随x的变化情况如下：

x f′(x) (－∞，－2) ＋ －2 0 ?－2，－2? 3??－ 2－ 30 ?－2，＋∞? ?3?＋ f(x) ↗ c ↘ 32c－ 27↗ 32所以，当c＞0且c－＜0时，存在x1∈(－∞，－2)，

2722

－2，－?，x3∈?－，＋∞?， x2∈?3???3?

32

0，?时，函数f(x)＝x3＋4x2＋使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由f(x)的单调性知，当且仅当c∈??27?4x＋c有三个不同零点．

(3)证明当Δ＝4a2－12b＜0，即a2－3b＜0时， f′(x)＝3x2＋2ax＋b＞0，x∈(－∞，＋∞)， 此时函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增， 所以f(x)不可能有三个不同零点．

当Δ＝4a2－12b＝0时，f′(x)＝3x2＋2ax＋b只有一个零点，记作x0. 当x∈(－∞，x0)时，f′(x)＞0，f(x)在区间(－∞，x0)上单调递增； 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在区间(x0，＋∞)上单调递增． 所以f(x)不可能有三个不同零点． 综上所述，若函数f(x)有三个不同零点， 则必有Δ＝4a2－12b＞0，

故a2－3b＞0是f(x)有三个不同零点的必要条件．

当a＝b＝4，c＝0时，a2－3b＞0，f(x)＝x3＋4x2＋4x＝x(x＋2)2只有两个不同零点， 所以a2－3b＞0不是f(x)有三个不同零点的充分条件． 因此a2－3b＞0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件． 2x－1

4．(2016·山东)已知f(x)＝a(x－lnx)＋2，a∈R.

x(1)讨论f(x)的单调性；

3

(2)当a＝1时，证明f(x)>f′(x)＋对于任意的x∈[1,2]成立．

2(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)，

2

a22?ax－2??x－1?

f′(x)＝a－－2＋3＝.

xxxx3