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平面解析几何知识点归纳
◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角
规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角?的取值范围为[0,?) 2.斜率：k?tan?(a??2)，k?R
斜率公式：经过两点P?1(x1,y1)，P2(x2,y2)(x1?x2)的直线的斜率公式为kP1P23.直线方程的几种形式 名称 斜截式 方程 说明 y2?y1
x2?x1适用条件 y?kx?b k是斜率 b是纵截距 与x轴不垂直的直线 点斜式 两点式 y?y0?k(x?x0) y?y1x?x1? y2?y1x2?x1(x0,y0)是直线上的已知点 (x1,y1),(x2,y2)是直线上的两个已知点 与两坐标轴均不垂直的直线 (x1?x2,y1?y2) 截距式 xy??1 aba是直线的横截距 b是直线的纵截距 当B?0时，直线的横截距为?不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax?By?C?0 (A2?B2?0) C A所有直线 当B?0时，?ACC,?,?分别为直线BAB的斜率、横截距，纵截距
能力提升
斜率应用
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例1.已知函数f(x)?log2(x?1)且a?b?c?0，则
f(a)f(b)f(c),,的大小关系 abc例2.已知实数x,y满足y?x2?2x?2(?1?x?1)，试求
两直线位置关系 两条直线的位置关系
位置关系 y?3的最大值和最小值 x?2l1:y?k1x?b1 l2:y?k2x?b2k1?k2，且b1?b2 l1:A1x?B1y?C1?0 l2:A2x?B2y?C2?0A1B1C1(A1B2-A2B1=0) ??A2B2C2A1B1C1 ??A2B2C2平行 ? 重合 ? k1?k2，且b1?b2 相交 ? ? k1?k2 A1B1 ?A2B2A1A2?B1B2?0 垂直 k1?k2??1 设两直线的方程分别为：
l1:y?k1x?b1或l1:A1x?B1y?C1?0；当k?k或AB?AB时它们
121221l2:y?k2x?b2l2:A2x?B2y?C2?0y?k1x?b1A1x?B1y?C1?0或? ??y?k2x?b2?A2x?B2y?C2?0相交，交点坐标为方程组??直线间的夹角：
①若?为l1到l2的角，tan??k2?k1A1B2?A2B1或tan??；
1?k2k1A1A2?B1B2k2?k1A1B2?A2B1或tan??；
1?k2k1A1A2?B1B2o②若?为l1和l2的夹角，则tan??????(??)③当1?k1k2?0或A1A2?B1B2?0时，??90；直线l1到l2的角?与l1和l2的夹角?：
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或?????(??
?2)；
距离问题
1.平面上两点间的距离公式P1(x1,y1),P2(x2,y2) 则 P1P2?(x2?x1)?(y2?y1) 2.点到直线距离公式
点P(x0,y0)到直线l:Ax?By?C?0的距离为：d?3.两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax?By?C1?0，
Ax0?By0?CA?B22
l2：Ax?By?C2?0，则l1与l2的距离为d?C1?C2A?B22
4.直线系方程:若两条直线l1：A1x?B1y?C1?0，l2：A2x?B2y?C2?0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为(A1x?B1y?C1)＋?(A2x?B2y?C2)?0或
(A2x?B2y?C2)+?(A1x?B1y?C1)?0 (λ为常数)
对称问题
x1?x2?x???21.中点坐标公式：已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，则A,B中点H(x,y)的坐标公式为?
?y?y1?y2?2?点P(x0,y0)关于A(a,b)的对称点为Q(2a?x0,2b?y0)，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。
2.轴对称： 点P(a,b) 关于直线Ax?By?c?0(B?0)的对称点为P'(m,n)，则有
A?n-b?(?)??1??m-aB，直线关于直线对称问题可转化 为点关于直线对称问题。 ?a?mb?n?A??B??C?0?22?（1）中心对称：
①点关于点的对称：
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该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A(a,b)关于C(c,d)的对称点(2c?a,2d?b) ②直线关于点的对称：
Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出
直线方程；
Ⅱ、求出一个对称点，在利用l1//l2由点斜式得出直线方程； Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。
如：求与已知直线l1:2x?3y?6?0关于点P(1,?1)对称的直线l2的方程。
①点关于直线对称：
Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。
Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。
如：求点A(?3,5)关于直线l:3x?4y?4?0对称的坐标。 ②直线关于直线对称：（设a,b关于l对称）
Ⅰ、若a,b相交，则a到l的角等于b到l的角；若a//l，则b//l，且a,b与l的距离相等。 Ⅱ、求出a上两个点A,B关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程。
Ⅲ、设P(x,y)为所求直线直线上的任意一点，则P关于l的对称点P'的坐标适合a的方程。 如：求直线a:2x?y?4?0关于l:3x?4y?1?0对称的直线b的方程。
能力提升
例1.点P(2,1)到直线mx?y?3?0(m?R)的最大距离为
例2.已知点A(3,1)，在直线y?x和y?0上各找一点M和N，使?AMN的周长最短，并求出周长。
线性规划问题：
（1）设点P(x0,y0)和直线l:Ax?By?C?0，
①若点P在直线l上，则Ax0?By0?C?0；②若点P在直线l的上方，则B(Ax0?By0?C)?0； ③若点P在直线l的下方，则B(Ax0?By0?C)?0； （2）二元一次不等式表示平面区域：
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对于任意的二元一次不等式Ax?By?C?0(?0)，
①当B?0时，则Ax?By?C?0表示直线l:Ax?By?C?0上方的区域；
Ax?By?C?0表示直线l:Ax?By?C?0下方的区域；
②当B?0时，则Ax?By?C?0表示直线l:Ax?By?C?0下方的区域；
Ax?By?C?0表示直线l:Ax?By?C?0上方的区域；
注意：通常情况下将原点(0,0)代入直线Ax?By?C中，根据?0或?0来表示二元一次不等式表示平面区域。
（3）线性规划：
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。
注意：①当B?0时，将直线Ax?By?0向上平移，则z?Ax?By的值越来越大； 直线Ax?By?0向下平移，则z?Ax?By的值越来越小；
②当B?0时，将直线Ax?By?0向上平移，则z?Ax?By的值越来越小； 直线Ax?By?0向下平移，则z?Ax?By的值越来越大；
如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数
y z?x?ay取得最小值的最优解有无数个，则a为 ；
（1）设点P(x0,y0)和直线l:Ax?By?C?0，
①若点P在直线l上，则Ax0?By0?C?0；②若点P在直线l的上方，则B(Ax0?By0?C)?0；
③若点P在直线l的下方，则B(Ax0?By0?C)?0； （2）二元一次不等式表示平面区域：
对于任意的二元一次不等式Ax?By?C?0(?0)，
①当B?0时，则Ax?By?C?0表示直线l:Ax?By?C?0上方的区域；
O A(1,1) C(4,2) B(5,1) x Ax?By?C?0表示直线l:Ax?By?C?0下方的区域；
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