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2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B》试卷

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分）

x2?sin(x2)? . 2 . 1． limx???2xx2(ex?1)dx? x?e?1?22(?1)n?11n11121133 . 级数 ??()??()????()??的和是 .

22232n24. 微分方程 ??x?y'(x)?2y(x)?x?2 的解是

y(1)?1?5. 已知三阶矩阵 A 的特征值为 1 , 2 , 3 ； E 为三阶单位矩阵 , 则 A2?2A?E = 6. 有两个箱子, 第一个箱子里有3个新球, 2个旧球, 第二个箱子里有4个新球, 5个旧球 . 现从第一个箱子里随

机地取出一个球放到第二个箱子里, 再从第二个箱子里取出一个球, 若已知从第二个箱子里取出的球是新球, 则从第一个箱子里取出的是

新球的概率为

二．选择题. （本题共有6个小题，每一小题4分，共24分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求） 1．函数 f(x)?x?e?1x 有 ( ) 条渐近线 .

（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 2. 下列级数中 ，（ ）是条件收敛级数 .

n（A） ?(?1) （B）

n?1n?n??(?1)2n?1 （C） ?nn?1???n?1??(?1)nn （D）

(?1)n?sinn .

?n2n?1??3．设函数 y?f(x) 在 [ 0 ，1 ] 上可导. 从定性上看，下列三个图像按 ( ) 的排序，依次分别是 y?f(x) 、y?f'(x) 和 y?f(t)dt 的函数图像 .

?0x（A） L1、L2和L3 （B） L2、L3和L1 （C） L3、L1和L2 （D） L3、L2和L1

yyyL1L1L2x1L301x

x00111TT4. 设 n 维行向量 ??(,0,??????,0,), 矩阵 A = E + 2?? , B = E ??? , 其中 E 为 n 阶单位阵 , 则

22TB = ( ) （A）. O（B） E （C） ?E （D） E???

5. 设 A 、B 是两个随机事件, 且 0 < P ( A ) < 1 , P ( B ) > 0 , P (BA) = P (BA) , 则必有 ( ) .

（A）P ( AB) = P (AB) （B） P ( A B ) = P ( A ) P ( B )（C） P ( A ) = P ( B ) （D） P ( A B ) = 6. 设随机变量 X 的概率密度为

对 X 独立地重复观察4次, 用 Y 表示观察值大于

P(B) P(A)x?1?cos,0?x??f(x)??22?,其它?0?

3的次数, 则P ( Y = 2 ) = ( ) .（A） 1 （B）

218 （C）5 （D）

83 8

三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共8个小题，每小题8分，共64分） 1． 设 x?1 时，Ax2?Bx?C?ln2x?o((x?1)2) ，其中 o((x?1)2) 是当 x?1 时比 (x?1)2 高

阶的无穷小, 求常数 A、B、C 之值．

?arctanx,x?02．已知 f(x)?? ， x,x?0?1求 （1） f'(x) ； （2） f'(x) 在点 x?0 处是否连续 ？为什么 ？ 3. 设 z?z(x,y) 是由方程 z?x2?2y2?z3?1 所确定的二元函数 ；

（1） 该二元函数有无极值 ？如有，求出极值点 ；如无，说明理由 .

（2） 在约束条件 x?2y?1 下，该函数是否还有极值？如有，求出极值点 ；如无，

说明理由 .

4．设函数 y?f(x) 为连续函数. 对于任意实数a，如果总成立

??f(x)d??f(a)?1 ，其中 D 为直角坐标

D系 xoy 中直线 y?x,y?a 和 x?0 所围的封闭区域 ， 求 f(x) 的函数解析表达式 . 5. 设 A =

1?1??1??111?????1?11?? , 矩阵 B 满足 B A* = A

?1 + 2 B , 其中 A* 是 A 的伴随矩阵 , 求B .

6. 设矩阵A =

?3??k???4?2??1k??2?3??2 ， 求常数 k 及可逆阵 P ，使 P

?1AP 为对角阵 .

7. 设连续型随机变量 X 的分布函数为

?0?xF(x)??A?Barcsin,a?1?x??a?a?x?ax?a

其中 a > 0 . 求 (1) A 和 B ; (2) 概率密度 f(x) ; (3) P(X?0). 8. 设随机向量 (X,Y) 的联合概率分布为

Y X 1 2 1 1/6 1/9 3 1/18

2

----------------------2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B》试卷------------------- 2 1/3 ? ? X 与 Y 独立, 求 : (1)

?、? ； （2）X 与 Y 的边缘分布 ； （3）X + Y的分布 .

四．应用题： （本题共3个小题，每小题9分，共27分）

1．试利用微分学方法 ，根据常数 k 的各种不同取值 ， 讨论曲线 y?e2x?ex?k 与曲线

y?2e2x?4ex?x?2k 的交点个数情况 .

---------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------

2. 问 a 分别为何值时，方程组

?5x1?5x2?4x3?1? ?x1?x2?ax3?2

?x?ax?2x??123?1有唯一解, 无解, 无穷多解 ? 在有无穷多解的情况下, 用基础解系表示其通解 .

3. 某商店每周以每千克200元的价格从生产厂家购进 y 千克某产品，并以每千克 260 元的价格在市场上销售. 规定一周内商店售不完的产品将作为再生原料由厂家回收进行处理，回收价格为每千克180元. 假定该产品每周的市场需求量 X 是服从区间 [ 10 ，30 ] 上均匀分布的随机变量，试确定商店的周进货量 y ，使商店获利的期望值最大 .

五．证明题： （本题共2个小题，第一小题6分，第二小题5分，共11分）

1． 设函数 f(x) 是 [0,1] 上的连续函数 ，f(t)dt?0. 试证：必至少存在一点 ??(0,1)，使得

?011f(?)??f(t)dt .

?2. 设 A 是 n ( n ? 2 ) 阶方阵且 A 的元素全都是 1 , E 是 n 阶单位阵, 证明：

1(E?A)?1?E?A .

n?1

2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B》试卷

题 号 一 得 分

考试说明：

1、考试时间为150分钟；

3

二 三 四 五 总 分 复核