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2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B》试卷
一、填空题:(只需在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,本题共有6个小题,每一小题4分,共24分)
x2?sin(x2)? . 2 . 1. limx???2xx2(ex?1)dx? x?e?1?22(?1)n?11n11121133 . 级数 ??()??()????()??的和是 .
22232n24. 微分方程 ??x?y'(x)?2y(x)?x?2 的解是
y(1)?1?5. 已知三阶矩阵 A 的特征值为 1 , 2 , 3 ; E 为三阶单位矩阵 , 则 A2?2A?E = 6. 有两个箱子, 第一个箱子里有3个新球, 2个旧球, 第二个箱子里有4个新球, 5个旧球 . 现从第一个箱子里随
机地取出一个球放到第二个箱子里, 再从第二个箱子里取出一个球, 若已知从第二个箱子里取出的球是新球, 则从第一个箱子里取出的是
新球的概率为
二.选择题. (本题共有6个小题,每一小题4分,共24分,每个小题给出的选项中,只有一项符合要求) 1.函数 f(x)?x?e?1x 有 ( ) 条渐近线 .
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 2. 下列级数中 ,( )是条件收敛级数 .
n(A) ?(?1) (B)
n?1n?n??(?1)2n?1 (C) ?nn?1???n?1??(?1)nn (D)
(?1)n?sinn .
?n2n?1??3.设函数 y?f(x) 在 [ 0 ,1 ] 上可导. 从定性上看,下列三个图像按 ( ) 的排序,依次分别是 y?f(x) 、y?f'(x) 和 y?f(t)dt 的函数图像 .
?0x(A) L1、L2和L3 (B) L2、L3和L1 (C) L3、L1和L2 (D) L3、L2和L1
yyyL1L1L2x1L301x
x00111TT4. 设 n 维行向量 ??(,0,??????,0,), 矩阵 A = E + 2?? , B = E ??? , 其中 E 为 n 阶单位阵 , 则
22TB = ( ) (A). O(B) E (C) ?E (D) E???
5. 设 A 、B 是两个随机事件, 且 0 < P ( A ) < 1 , P ( B ) > 0 , P (BA) = P (BA) , 则必有 ( ) .
(A)P ( AB) = P (AB) (B) P ( A B ) = P ( A ) P ( B )(C) P ( A ) = P ( B ) (D) P ( A B ) = 6. 设随机变量 X 的概率密度为
对 X 独立地重复观察4次, 用 Y 表示观察值大于
P(B) P(A)x?1?cos,0?x??f(x)??22?,其它?0?
3的次数, 则P ( Y = 2 ) = ( ) .(A) 1 (B)
218 (C)5 (D)
83 8
三.计算题:(计算题必须写出必要的计算过程,只写答案的不给分,本题共8个小题,每小题8分,共64分) 1. 设 x?1 时,Ax2?Bx?C?ln2x?o((x?1)2) ,其中 o((x?1)2) 是当 x?1 时比 (x?1)2 高
阶的无穷小, 求常数 A、B、C 之值.
?arctanx,x?02.已知 f(x)?? , x,x?0?1求 (1) f'(x) ; (2) f'(x) 在点 x?0 处是否连续 ?为什么 ? 3. 设 z?z(x,y) 是由方程 z?x2?2y2?z3?1 所确定的二元函数 ;
(1) 该二元函数有无极值 ?如有,求出极值点 ;如无,说明理由 .
(2) 在约束条件 x?2y?1 下,该函数是否还有极值?如有,求出极值点 ;如无,
说明理由 .
4.设函数 y?f(x) 为连续函数. 对于任意实数a,如果总成立
??f(x)d??f(a)?1 ,其中 D 为直角坐标
D系 xoy 中直线 y?x,y?a 和 x?0 所围的封闭区域 , 求 f(x) 的函数解析表达式 . 5. 设 A =
1?1??1??111?????1?11?? , 矩阵 B 满足 B A* = A
?1 + 2 B , 其中 A* 是 A 的伴随矩阵 , 求B .
6. 设矩阵A =
?3??k???4?2??1k??2?3??2 , 求常数 k 及可逆阵 P ,使 P
?1AP 为对角阵 .
7. 设连续型随机变量 X 的分布函数为
?0?xF(x)??A?Barcsin,a?1?x??a?a?x?ax?a
其中 a > 0 . 求 (1) A 和 B ; (2) 概率密度 f(x) ; (3) P(X?0). 8. 设随机向量 (X,Y) 的联合概率分布为
Y X 1 2 1 1/6 1/9 3 1/18
2
----------------------2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B》试卷------------------- 2 1/3 ? ? X 与 Y 独立, 求 : (1)
?、? ; (2)X 与 Y 的边缘分布 ; (3)X + Y的分布 .
四.应用题: (本题共3个小题,每小题9分,共27分)
1.试利用微分学方法 ,根据常数 k 的各种不同取值 , 讨论曲线 y?e2x?ex?k 与曲线
y?2e2x?4ex?x?2k 的交点个数情况 .
---------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------
2. 问 a 分别为何值时,方程组
?5x1?5x2?4x3?1? ?x1?x2?ax3?2
?x?ax?2x??123?1有唯一解, 无解, 无穷多解 ? 在有无穷多解的情况下, 用基础解系表示其通解 .
3. 某商店每周以每千克200元的价格从生产厂家购进 y 千克某产品,并以每千克 260 元的价格在市场上销售. 规定一周内商店售不完的产品将作为再生原料由厂家回收进行处理,回收价格为每千克180元. 假定该产品每周的市场需求量 X 是服从区间 [ 10 ,30 ] 上均匀分布的随机变量,试确定商店的周进货量 y ,使商店获利的期望值最大 .
五.证明题: (本题共2个小题,第一小题6分,第二小题5分,共11分)
1. 设函数 f(x) 是 [0,1] 上的连续函数 ,f(t)dt?0. 试证:必至少存在一点 ??(0,1),使得
?011f(?)??f(t)dt .
?2. 设 A 是 n ( n ? 2 ) 阶方阵且 A 的元素全都是 1 , E 是 n 阶单位阵, 证明:
1(E?A)?1?E?A .
n?1
2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B》试卷
题 号 一 得 分
考试说明:
1、考试时间为150分钟;
3
二 三 四 五 总 分 复核