内容发布更新时间 : 2024/12/23 11:08:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
三角恒等变换
【考情分析】
三角函数是历年高考重点考察内容之一，三角恒等变换的考查，经常以选择与填空题的形式出现，还常在解答题中与其它知识结合起来考查，其中升幂公式、降幂公式、辅助角公式是考查的重点．在考查三角知识的同时，又考查用函数思想、数形结合思想解决问题的能力。
【知识梳理】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β， cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β，
tan α±tan β
tan(α±β)＝.
1?tan αtan β
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α，
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，
2tan α
tan 2α＝. 1－tan2α
3．有关公式的逆用、变形 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)；
1＋cos 2α1－cos 2α
(2)cos2α＝，sin2α＝；
22
π
α±?. (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2, 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin??4?4．辅助角公式
ba
asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sin φ＝2，cos φ＝.
a＋b2a2＋b2sx(??)?b周期 5.ω＞0时y?Asin(?x??)?b周期 y?Aco?y?tan(?x)周期 【考题体验】
α3
1．(2013·江西高考)若sin＝，则cos α＝( )
23
2112A．－ B．－ C. D.
3333
α3α13
解析：选C 因为sin＝，所以cos α＝1－2sin2 ＝1－2×??2＝.
232?3?3
[来源:学.科.网Z.X.X.K][来源学&科&网Z&X&X&K]
2．（2014·高考课标卷）已知sin2??2?2，则cos(??)?（ ） 341112A. B. C. D. 6323解析：选A
π3π2
α－?＝，tan?＋β?＝，则tan(α＋β)的值为( ) 3．已知tan??6?7?6?5
2911
A. B. C. D．1 412941
32?α－π?＋tan?π＋β?＋tan75?6??6?π??π????解析：选D tan(α＋β)＝tan??α－6?＋?6＋β??＝＝＝1.
π?π?32??1－tan?α－6?·tan?6＋β?1－7×5
π?
4．(2013·四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈??2，π?，则tan 2α的值是________．
π?13
，π，∴sin α＝，tan α＝－3，∴tan 解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－，又α∈??2?22
1
－232tan α
2α＝＝3. 2＝1－tanα1－?－3?2
5．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝________.
tan 20°＋tan 40°
解析：∵tan (20°＋40°)＝，∴3－3tan 20°tan 40°＝tan 20°＋tan 40°，
1－tan 20°tan 40°
即tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝3.
.Com]【典型例题】
考向一：求角问题
例1：已知?,??(0,?)且tan(???)?
变式1： 已知0???11,tan???，求2???的值. 27?2????，tan?12=,cos(?-?)=,求? 的值. 2210
考向二：三角函数的化简求值
例2、 (2013·重庆高考)4cos 50°－tan 40°＝( )
2＋3
A.2 ; B. ; C.3 ; D．22－1
2
sin 40°－sin 40°2sin 80°－sin 40°sin 40°4cos 40°
[解] 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－＝＝
cos 40°cos 40°cos 40°
2sin?120°－40°?－sin 40°3cos 40°＋sin 40°－sin 40°3cos 40°＝＝＝＝3.
cos 40°cos 40°cos 40°
【方法规律】
1．三角函数式化简的原则
三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子结构与特征． 即用转化与化归思想“去异求同”的过程，具体分析如下：
（1）首先观察角与角之间的关系，用已知角表示未知角，角的变换是三角恒等变换的核心； （2）其次是看三角函数名称之间的关系，通常是常值代换或者切化弦； （3）再就是观察代数式的结构特点，合理的选择三角函数公式，化繁为简. 2．解决给角求值问题的基本思路
对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： (1)化为特殊角的三角函数值；
(2)化为正、负相消的项，消去求值； (3)化分子、分母出现公约数进行约分求值．
2cos 10°－sin 20°
变式2：(2014·嘉兴模拟)的值是( )
sin 70°
13
A. B. C.3 D.2 22
2cos?30°－20°?－sin 20°
解析：选C 原式＝ sin 70°
2?cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°?－sin 20°3cos 20°＝＝＝3.
sin 70°cos 20°
[来源学科网]考点三： 三角函数的条件求值
[来源:Z&xx&k.Com][例3] (1)(2013·浙江高考)已知α∈R，sin α＋2cos α＝4334A. B. C．－ D．－ 3443
2
10，则tan 2α＝( ) 2
π
x－?，x∈R. (2)(2013·广东高考)已知函数f(x)＝2cos??12?
π3ππ3
－?的值；②若cos θ＝，θ∈?，2π?，求f?2θ＋?. ①求f?3??6??2??5
[解] (1)法一：(直接法)两边平方，再同时除以cos2α，得3tan2α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－12tan α3，代入tan 2α＝2，得tan 2α＝－. 341－tanα
3110法二：(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性，记sin α＝，cos α＝，这时sin α＋2cos α＝21010
符合要求，此时tan α＝3，代入二倍角公式得到答案C.
πππππ－?＝2cos?－－?＝2cos?－?＝2cos ＝1. (2)①f??6??612??4?4ππππ
2θ＋?＝2 cos?2θ＋－?＝2cos?2θ＋?＝cos 2θ－sin 2θ. ②f?3?312?4????
3π34，2π?，所以sin θ＝－. 因为cos θ＝，θ∈??2?55
247
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－.
2525
π24177
2θ＋?＝cos 2θ－sin 2θ＝－－?－?＝. 所以f?3??25?25?25
π
θ－?的值． 【互动探究】保持本例(2)②条件不变，求f??6?3π3?3?2＝－4. ，2π?，cos θ＝，所以sin θ＝－1－cos2θ＝－ 解：因为θ∈?1－?2??5?55ππππ22
θ－?＝2cos?θ－－?＝2cos?θ－?＝2×?cos θ＋sin θ? 所以f??6??612??4?2?2?
341
＝cos θ＋sin θ＝－＝－.
555
【方法规律】三角函数求值的两种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．
π1
θ＋?＝，则sin θ＋cos θ＝________. 变式3：1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan??4?2
π1?θ＋π?＝－5，?θ＋π?＝－10. θ＋?＝，解法一由θ在第二象限，且tan?故sin故sin θ＋cos θ＝2 sin?4?2?4??4?55
π1tan θ＋111θ＋?＝利用两角和的正切公式展开，则法二：如果将tan?＝，求得tan θ＝－.又因为θ在?4?231－tan θ213210
第二象限，则sin θ＝，cos θ＝－，从而sin θ＋cos θ＝－＝－. 5101010βαπ12
α－?＝－，sin?－β?＝，求cos(α＋β)的值． 2．已知0＜β＜＜α＜π，且cos??2??2?329
ππαππβ
解：∵0＜β＜＜α＜π，∴－＜－β＜，＜α－＜π，
242242
α?ββ4552?α2?－β＝ －β?＝，sin?α－?＝ α－?＝∴cos?1－sin1－cos?2??2?3?2??2?9， α＋β?α－β?－?α－β??＝cos?α－β?cos?α－β?＋sin?α－β?sin?α－β? ∴cos＝cos???2??2???2??2??2??2?21545275－?×＋＝?×＝， ?9?39327
α＋β49×5239
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.
2729729
考点四： 三角变换的综合应用
1．三角恒等变换是三角函数化简、求值、证明的主要依据．高考常与三角函数的其他知识相结合命题，题目难度适中，为中档题．
[来源学+科+网] 3