内容发布更新时间 : 2024/5/20 9:45:32星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第25讲
[解密考纲]本考点重点考查平面向量的数量积及其几何意义，往往借助于数量积求模长、夹角、面积等，多以选择题、填空题的形式考查，题目难度中等偏难．
一、选择题
1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是( D ) 1
A．x＝－
2C．x＝5
B．x＝－1 D．x＝0
解析 由向量垂直的充要条件，得2(x－1)＋2＝0，解得x＝0. 2．已知非零向量a，b，|a|＝|b|＝|a－b|，则cos〈a，a＋b〉＝( C ) 1
A．
2C．
3
2
1
B．－
2D．－3 2
1
解析 设|a|＝|b|＝|a－b|＝1，则(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1，∴a·b＝，∴a·(a＋b)＝a2
232133
＋a·b＝1＋＝.∵|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋1＝3，∴cos〈a，a＋b〉＝＝.
221×32
→→→→→→3．已知向量|OA|＝2，|OB|＝4，OA·OB＝4，则以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为( A )
A．43 C．4
B．23 D．2
→→
OA·OB413
解析 因为cos∠AOB＝＝＝，所以sin∠AOB＝，所以所求的平行四
2→→2×42
|OA||OB|→→
边形的面积为|OA|·|OB|·sin∠AOB＝43.故选A．
4．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b夹角的正弦值为( D )
1
A．－
21
C．
2
B．－D．
3 2
3 2
解析 ∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，13
b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴sin〈a，b〉＝1－cos2〈a，b〉＝.故选D．
22
→→→5．若△ABC的三个内角A，B，C度数成等差数列，且(AB＋AC)·BC＝0，则△ABC一
定是( C )
A．等腰直角三角形 C．等边三角形
B．非等腰直角三角形 D．钝角三角形
→→→→→→→→→→
解析 因为(AB＋AC)·BC＝0，所以(AB＋AC)·(AC－AB)＝0，所以AC2－AB2＝0，即|AC→
|＝|AB|，又A，B，C度数成等差数列，故2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，所以2B＝π－B，所π
以B＝，故△ABC是等边三角形．
3
6．(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，→→→→→→AC与BD交于点O，记I1＝OA·OB，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，则( C )
A．I1＜I2＜I3 C．I3＜I1＜I2
B．I1＜I3＜I2 D．I2＜I1＜I3
解析 如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易知AO →→→→ ∴|OA|·|OB|<|OC|·|OD|， 而cos∠AOB＝cos∠COD<0， →→→→∴OA·OB>OC·OD，即I1>I3，∴I3 7．(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝__2__. 解析 因为a⊥b，所以a·b＝－2×3＋3m＝0，解得m＝2. →1→→→→8．已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则 AB与 AC的夹角为__90°__. 2→1→→→ 解析 由AO＝(AB＋AC)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以 AB 与 2→ AC 的夹角为90°. →→ 9．(2017·北京卷)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则 AO·AP 的最大值为__6__. →→→解析 由题意知AO＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则AO·AP＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，→→故 AO·AP 的最大值为6. 三、解答题 10．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)求|a＋b|和|4a－2b|； (2)当 为何值时，a＋2b与 a－b垂直． 1 －?＝－16. 解析 由已知得a·b＝4×8×??2?(1)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a＋b|＝43. ∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a－2b|＝163. (2)∵(a＋2b)⊥( a－b)， ∴(a＋2b)·( a－b)＝0， ∴ a2＋(2 －1)a·b－2b2＝0， 即16 －16(2 －1)－2×64＝0，∴ ＝－7. 故 ＝－7时，a＋2b与 a－b垂直． →→→ 11．如图，O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠AOC＝120°，向量 OA，OB，OC 的模分别为2，3，4. →→→(1)求|OA＋OB＋OC|； →→→ (2)若OC＝mOA＋nOB，求实数m，n的值． →→→→ 解析 (1)由已知条件易知OA·OB＝|OA|·|OB|·cos∠AOB＝ →→→→→→－3，OA·OC＝|OA|·|OC|·cos∠AOC＝－4，OB·OC＝0， →→→→→→→→→→→→→→∴|OA＋OB＋OC|2＝OA2＋OB2＋OC2＋2(OA·OB＋OA·OC＋OB·OC)＝9，∴|OA＋OB＋→ OC|＝3.