内容发布更新时间 : 2024/10/22 10:42:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

离散型随机变量的均值和方差、正态分布

10．8 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

班级 姓名

一、学习目标：

1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．

2．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 二、学习建议：

1．把握基本题型； 2．强化方法选择．

三、自主预习：（请用7分钟左右的时间完成，如若困难可先解决知识链接再解题） 1．某学习小组的一次数学考试成绩为： 分 数 频 数 频 率 分数×频率 95 2 96 4 97 3 98 1 填写表格的三、四两行，并求出①该学习小组这次考试的平均分；②表格的第四行的4个数据之和。 根据你的结果，解析你的发现。

知识链接1．

1．离散型随机变量的均值与方差的概念

若离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn (1)期望：称E(X)＝_____________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

(2)方差：称D(X)＝____________________为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的________________，其算术平方根DX为随机变量X的标准差．

2．离散型随机变量的均值与方差的性质

E(aX＋b)＝ ，D(aX＋b)＝ ．

3．几个重要分布的均值和方差

(1)若X服从两点分布，则E(X)＝ ，D(X)＝ ； (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝ ，D(X)＝ ；

nk

CknMMCN－M

(3)若X服从超几何分布P(X＝k)＝，则E(X)＝N nCN

－

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2． 某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队(简称“青志队”)，他们活动次数统计如表所示． 活动次数 参加人数 1 5 2 15 3 20 (1)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加 活动次数恰好相等的概率；

(2)从“青志队”中任选两名学生，用X表示这两人参加活动次数之差的绝

对值，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)与方差．

3．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )

A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977

知识链接2．正态曲线与正态分布

1

正态曲线：如果一条曲线就是(或近似地是)下列函数的图象：φμ，σ(x)＝e－

2πσ

x－μ2σ22

，x∈(－∞，

＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

正态分布：如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量x满足P(a＜x≤b)＝?bφμ，σ(x)dx，则称x服从正

?a

态分布，记为x～N(μ，σ2)．

5．正态曲线的特点

(1)曲线位于x轴上方，______________；(2)曲线是单峰的，它关于______________； (3)曲线在x＝μ处达到峰值__________； (4)曲线与x轴之间的面积为____； (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿______平移；

(6)当μ一定时，曲线的形状由____确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越______；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越______． 6．3σ原则

(1)3σ原则的含义：在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取 __________________之间的值，并简称之为3σ原则． (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值： 若X～N(μ，σ2)，则有

P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974. (3)正态总体在(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率：

正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．

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四、课堂互助区

例1．甲、乙、丙三名应届大学毕业生参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要

面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合1

格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：

2

(1)至少有1人面试合格的概率；(2)签约人数X的分布列和数学期望及方差D(X)．

变式：甲、乙、丙三名应届大学毕业生参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，三人都表示

1

只要面试合格就签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：

2签约人数X的分布列和数学期望及方差D(X)

[点评]求数学期望或方差要注意观察随机变量的概率分布特征，若是 ，用 的期望与方差公

式计算，则更为简单。

例2．某公司要将一批海鲜用汽车运往A城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入30万元，

每提前一天送到，将多获得1万元，每迟到一天送到，将少获得1万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路1或公路2中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示．

统计信息 堵车的 运费 不堵车的情况下到达所需时间(天) 堵车的情况下到达所需时间(天) 汽车行驶路线 概率 (万元) 公路1 公路2 2 1 3 4 1 101 21.6 0.8 (1)记汽车走公路1时公司获得的毛利润为ξ(万元)，求ξ的分布列和数学期望Eξ； (2)假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？ (注：毛利润＝销售收入－运费)

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