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第3讲 带电粒子在复合场中的运动

[真题再现]

1．(2017·全国卷Ⅰ)如图3－3－1，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里。三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等，质量分别为ma、mb、mc，已知在该区域内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动。下列选项正确的是

图3－3－1

A．ma＞mb＞mc B．mb＞ma＞mc C．mc＞ma＞mb D．mc＞mb＞ma

解析 该空间区域为匀强电场、匀强磁场和重力场的叠加场，a在纸面内做匀速圆周运动，可知其重力与所受到的电场力平衡，洛伦兹力提供其做匀速圆周运动的向心力，有mag＝qE，解得ma＝，b在纸面内向右做匀速直线运动，由左手定则可判断出其所受洛伦兹力方向竖直向上，可知mbg＝qE＋qvbB，解得mb＝＋

qEgqEqvbB，c在纸面内向左做匀速直线运动，

ggqEqvcB。

gg由左手定则可判断出其所受洛伦兹力方向竖直向下，可知mcg＋qvcB＝qE，解得mc＝－综上所述，可知mb＞ma＞mc，选项B正确。

答案 B

2．(2015·福建卷)如图3－3－2，绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q、带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑，到达C点时离开MN做曲线运动。A、C两点间距离为h，重力加速度为g。

图3－3－2

(1)求小滑块运动到C点时的速度大小vC；

(2)求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf；

(3)若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的P点。已知小滑块在D点时的速度大小为vD，从D点运动到P点的时间为t，求小滑块运动到P点时速度的大小vP。

解析 本题考查带电体在复合场中的运动和能量守恒、功能关系，意在考查考生的分析推理能力和综合解决问题的能力。

(1)小滑块沿MN运动过程，水平方向受力满足qvB＋N＝qE① 小滑块在C点离开MN时

N＝0②

解得vC＝③ (2)由动能定理

EBmgh－Wf＝mv2C－0④ mE2

解得Wf＝mgh－2⑤

2B(3)如图，小滑块速度最大时，速度方向与电场力、重力的合力方向垂直。撤去磁场后小滑块将做类平抛运动，等效加速度为g′

12

g′＝ 2

2

?qE?2＋g2⑥ ?m???

22

且vP＝vD＋g′t⑦ 解得vP＝

??qE?2＋g2?t2。⑧ v2D＋????

??m??

??qE?2＋g2?t2

v2D＋????

??m??

EmE2

答案 (1) (2)mgh－2 (3) B2B3．(2018·全国卷Ⅱ)一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在xOy平面内的截面如图3－3－3所示；中间是磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为l′，电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N为条状区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行。一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场经过一段时间后恰好以从

M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出。不计重力。

图3－3－3

(1)定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹； (2)求该粒子从M点入射时速度的大小；

π

(3)若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为，求该粒子的比荷及

6其从M点运动到N点的时间。

解析 (1)粒子运动的轨迹如图(a)所示。(粒子在电场中的轨迹为抛物线，在磁场中为圆弧，上下对称)

(2)粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动。设粒子从M点射入时速度的大小为v0，在下侧电场中运动的时间为t，加速度的大小为a；粒子进入磁场的速度大小为v，方向与电场方向的夹角为θ(见图b)。速度沿电场方向的分量为v1。根据牛顿第二定律有

qE＝ma①

式中q和m分别为粒子的电荷量和质量：由运动学公式有

v1＝at② l′＝v0t③ v1＝vcos θ④

粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其运动轨道半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得

mv2

qvB＝⑤

R由几何关系得

l＝2Rcos θ⑥

联立①②③④⑤⑥式得

v0＝

2El′

⑦

Bl