内容发布更新时间 : 2024/5/2 13:06:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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第二章 波函数和薛定谔方程b

第二章 波函数和薛定谔方程 § 学习指导 本章主要介绍微观粒子运动状态的描述方法、演化规律以及此带来的新特点，并以一维情况作例子进行具体说明。 根据实验，微观粒子具有波粒二象性。经典波一般用振幅A(r,t)与位相?(r,t)来描述， vvvi?(r它们可以统一写为?(r,t)?A(r,t)e,t)，在量子力学中沿用坐标与时间的复值函数 vvvv?(r,t)来描述微观粒子的运动状态，称为波函数。经典情况下，模方|?(r,t)|2表示波的 强度；量子情况下，|?(r,t)|2表示粒子出现的概率密度，因此需要把波函数归一化。 波函数随时间的变化薛定谔方程确定。按照波函数的演化形式，粒子运动可以分为定态和非定态。在定态中，粒子的概率密度不随时间变化。按照定态波函数的空间形式，粒子运动可以分

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为束缚态和非束缚态。在束缚态中，粒子的能量取离散值，形成能级，可以很好地说明原子光谱。散射态是典型的非束缚态，可以用来描述粒子之间的碰撞，解释微观粒子的隧道贯穿现象。 真实的物理空间是三维的，但是当系统具有某些对称性时，可以约化为一维问题，例如中心势场中粒子的径向运动。近来，实验中也制备出了某些类型的一维量子力学系统。一维薛定谔方程容易求解，便于初学者理解量子力学的基本概念、熟悉常用方法和领会核心思想。 本章的主要知识点有 1. 微观粒子运动状态的描述 1）波函数 波函数?(r,t)是描述微观粒子状态的复值函数，波函数需要满足的标准条件为单值性、连续性和有界性。实际体系波函数满足平方可积条件，即2）波函数的意义 波函数的模方 vv???v2?(r,t)d??N2??。 vv2w(r,t)??(r,t) 给出t时刻粒子出现在位置r邻域单位体积内的概率，即概率密度。 因此，标

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准的波函数应该是归一化的，即满足归

一化条件 v???v2?(r,t)d??1 (2-2) 未归一化的波函数可以通过乘以一个归一化因子来实现归一化。 3）波函数的性质 1 波函数?(r,t)满足叠加原理，如果?i(r,t),i?1,2,L为微观粒子的可能状态，则 ?(r,t)?也是一个可能的状态。 2. 微观状态的演化 1）薛定谔方程 状态?(r,t)随时间演化满足薛定谔方程 ihvvv?iivc?i(r,t),ic?

C (2-3) v?vv?(r,t)??H?(r, t ) (2-4) ?t2v???h?2?U(r,t) (2-5) 其中 H2m称为哈密顿算符，U(r,t)是势能。若已知初始状态?(r,0)，薛定谔方程可求出任意时刻t的状态?(r,t)。 2）连续性方程 薛定谔方程可以推出连

续性方程 vvvv?w??J??0 (2-6) ?tvih(?????????) (2-7) 其中J??2m称为概率流密度，即沿着给定方向单位时间通过单位截面的概率。连续性方程是概率守恒定律的定域表现。 3）定态薛定谔方程 ?不显

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