内容发布更新时间 : 2024/6/29 20:37:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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一、基本知识概要：

1、 期望的定义：

一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为 ξ P x1 P1 x2 P2 x3 P3 … … xn Pn … … 则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+…+xnPn+…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。 它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。

若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。 E(c)= c 特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=nP

2、 方差、标准差定义：

Dξ=(x1-Eξ)2·P1+(x2-Eξ)2·P2+…+(xn-Eξ)2·Pn+…称为随机变量ξ的方差。 Dξ的算术平方根D?=δξ叫做随机变量的标准差。

随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。 且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2。 若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.

3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。 考点一 期望与方差

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例1：设随机变量?具有分布P(?＝k)＝，k＝1,2,3,4,5，求E(?＋2)，D(2??1)，

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?(??1)．

例2：有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，

政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下： ? 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 ?η 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中?和?分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两建材厂材料哪一种稳定性较好．

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考点二 离散型随机变量的分布、期望与方差

例3：如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖。（Ⅰ）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%。记随机变量（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量?的分布列及期望E? ；?为获得k

（Ⅱ）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量?为获

得1等奖或2等奖的人次，求P(?=2).

2、某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为

4，第二、5第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

ξ 0 1 2 3 p 6 125a d 24 125(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求p，(Ⅲ)求数学期望Eξ。 q的值；

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开锁次数的数学期望和方差

例 有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数?的数学期望和方差．

次品个数的期望

例 某批数量较大的商品的次品率是5％，从中任意地连续取出10件，?为所含次品的个数，求E?．

根据分布列求期望和方差

例 设??是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q 值，并求E ??、D ??．

?? P －1 0 1 1 21?2q q 2

产品中次品数分布列与期望值

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