内容发布更新时间 : 2025/1/7 14:37:57星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第2章习题参考答案
A类
1、（1）(C) ；（2）(A)；（ 3）(C) ；（4）(B)； （5）(D)。 2、（1）[0,1]，空集，[0,1]；（2）E，则??3、证明：（1）必要性 设P0?E则0??'3（3）(1,6)；（4）公共；（5）E{(0,y):y?1}；
c
。
邻域N(P?0，0,?)现设PE中有无穷多个点。0?N(P,?)，
?d(P,P0)??。故
y?N(P0,???)，有
d(y,P)?d(y,P0)?d(P0,P)????????。
所以
N(P，而N(P0,???)?N(P,?)0,???)E有无穷多个E中的点，自然有异于
P0的点
P1?N(P0,???)E?N(P,?)。而N(P0,???)(E?{P0})是无穷点集，故N(P,?)中有
无穷多个异于P0的E中的点。
充分性 若任意含P则??1?E，0的邻域N(P,?)中恒有异于P0的点P的点P1?E，记d(P1,P0)??1，显然?1而d(P2,P0)??2?0，N(P0,?)中有异于P0??，于是邻域N(P0,?1)中又有异于P0和P1的点P2?E，
??1??，这样下去，可得无穷点集
'这表明N(P。 0,?)中有无穷多个E中的点，由?的任意性知，P0?E（2）必要性显然。
充分性 若存在包含P0,?0的邻域N(P,?)?E，则N(P内点。 4、仿第3题。
5、证明：记B为E的孤立点全体，则E?B则当E'有限时E''?E'，所以E?(E?B)B?E?d(P,P0))?N(P,?)?E，故P0为E的
B，而B至多可数，
B是至多可数的，从而E至多可数，矛盾。
E，而E?E?E?，所以E?E。反之，因为E?E?E?E?，
6、证明：因为E为闭集，则E??所以，E??E，即E为闭集。
7、证明：对任意x?E?{x使对任意
f(x)?a}，有f(x)?a，由连续函数的局部保号性，存在B(x,?)，
，所以，B(x,?)?y?B(x,?)，有f(y)?a，即y?EE，即x为E的内点。所以
E?{xf(x)?a}为开集。又Fc?{xf(x)?ac}?x{fx(?a)?E}F?{xf(x)?是开集，所以，
为闭集。同法可证a}{xf(x)?a}为开集，{xf(x)?a}为闭集。
1
8、证明：反证法。假定E以存在E中点
?{x1,x2,,xn,}，作闭区间I1:x1是I1的内点，因x1不是孤立点，所
y2:y2是I1的内点。作以y2为中心的闭区间I2:I2?I1且x1?I2。
y3:y3是I2的内点以及y3?x2，再作以y3为中心的闭区间I3:I3?I2且x2?I3，
同理，又有E中点易知I3现记KnE??，如此进行下去，可得闭区间列{In}:
?InE，则{Kn}是有界闭集列，且Kn?1?Kn(n?1,2,)，因每个Kn均为E的子集，
?且xn?In?1，所以
n?1Kn??，这显然与E是完备集矛盾。证毕。
9、证明：方法一。?开集G?而N(x0,?)Rn，显然G?Rn?c。?x0?G，???0，使N(x0,?)?G，
?c，从而，G?c。
方法二。由第9题知Rn中任一开集G都可表为G所以G?c
10、证明：设F是包含E的任意闭集，则E集，所以E'?i?1Ii，其中Ii为Rn中的开区间，从而In?c，
?F'，所以E?EE'?FF'?F，因F
是为闭
?F?F。
11、证明：反证法。假定
G1G2??，则存在x0?G1G2的内点，因而存在
，由于，使得
G1G2??，故
'x0?G2?G2?G2。但x0是G1?0?0，N(x?0?)G10,N(x0,?0)G2??，从而得x0?G2'，导致矛盾，故结论成立。
12、证明： 设F?{GG?R1,G是开集}，则易知F?c，?G?F?i?1，由R1中的开集的构造
知，G可表为至多可数个互不相交的开区间的并，即G(ai,bi)，令A表示直线上互不相交的开区
对等于
间的全体，从而G对应于A的一个子集，这就说明F2A的一个子集，又A?a。于是
R1中全体
F?2a?c，即有F?c。又由对偶定理知，R闭集也作成一基数为c的集合。
13、证明 设x,y?R，对任意z?E有
d(x,z)n1中的开集全体和闭集全体的势相同，从而
?d(x,y)?d(y,z).
2
不等式两边关于z?E取下确界，有 d(x,E)同理有
d(y,E)于是
从而函数
?d(x,y)?d(y,E).
?d(y,x)?d(x,E).
d(x,E)?d(y,E)?d(x,y)，
f(x)?d(x,E)在Rn上是一致连续的。
f(x)?d(x,F)1，则由上题知
14、解：（1）?x?Rn，令故当x?F1，
f在Rn一致连续，因而连续。又F是闭集，
1f(x)?d(x,F1)?0。
f(x)?d(x,F2)，注意到F因此d(x,F1)?d(x,F2)?0，1与F2不交，
d(x,F1)?d(x,F2)（2）令?x?Rn，
由连续函数的四则运算法则知，则
f(x)即为所求函数。
d(x,F1F2)?d(x,F1F3)d(x,F1F2)?2d(x,F1F3)?d(x,F2B类
，容易验证
（3）?x?Rn，作函数即为所求函数。
f(x)?F3)f(x)15、证明：必要性，若E是无处稠密集，则E不包含任何邻域N，从而必有x0?N，使x0?E可见x0为E的外点，考虑到x0为N的内点，即存在?0?EE'?0，使N1?N(x0,?0)?NEc,即有
N1E??。
?Rn是任一邻域，因存在N中的子邻域N1充分性，设N?N，使得N1E??。则N1?Ec考
?E，这就
虑 N1的中心x1则x1必不是E的聚点，即x1必不属于E'，于是x1必不属于E ，这样N证明了E是无处稠密集。 16、证明：设邻域族F?{I?:???}，其中?为指标集，I?为开邻域，且F覆盖E。
?x?E，??x??，使x?I?x。由于I?x是开集，故??x?0使N(x,?x)?I?x。由有理点在Rn中的稠密性，存在有理点qx?Q和有理数rxn?0，使x?N(qx,rx)?N(x,?x)?I?x。
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