内容发布更新时间 : 2024/12/23 23:15:21星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第二章 角平分线四大模型

M模型1 角平分线上的点向两边作垂线

A 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作

PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。

P 结论：PB=PA。

ONB模型分析

利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 模型实例

（1）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点D

到直线AB的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。 求证：AP平分∠BAC。

A

A C

B234

1

BC DP图2图1

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1．如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。

A

D

C B

2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点 P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。 P A

BD C

1

模型2 截取构造对称全等

如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON 上截取OB=OA，连接PB。 结论：△OPB≌△OPA。

M

A

P ONB

模型分析

利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 模型实例

（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，P是AD上异于点

A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由；

（2）如图②所示， AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。

A A

P PBDBC

CD 图1图2

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1．已知，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8。 求线段BC的长。

A

CBD

2

2．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC。 求证：BC=AB+CD。

A

D

CB

3．如图所示，在△ABC中，∠A=100°，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，延

长BD至E，DE=AD。求证：BC=AB+CE。

A ED

CB

模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形

如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。 结论：△AOB是等腰三角形。

M

A

P

OBN

模型分析

构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

1.如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，

CE⊥BD，垂足为E。求证：BD=2CE。 A DE CB

2．如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。 求证：∠2=∠1+∠C。

A

12EDC 3

B