年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 21:35:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2013年全国高中数学联赛江西省预赛

试题解答

一、填空题(每题8分)

1、若2013的每个质因子都是某个正整数等差数列?an?中的项,则a2013的最大值

是 .

答案:4027.

解:2013?3?11?61,若3,11,61皆是某正整数等差数列中的项,则公差d应是

11?3?8与61?3?58的公因数,为使a2013取得最大,则其首项a1和公差d都应取尽可能

大的数,于是a1?3,d?2,所以a2013的最大值是3?2012d?4027.

2、若a,b,c?0,

答案:36.

123???1,则a?2b?3c的最小值为 . abc2?123??????1?2?3??36. ?abc?解:据柯西不等式,a?2b?3c??a?2b?3c???1233、若Sn?n!??????2!3!4!答案:???n?1?,则S2013? .

(n?1)!?1. 2014解:因

k(k?1)?111???,则

(k?1)!(k?1)!k!(k?1)!?n1?12?13?1????(n?1)!1!2!3!?(n?1)?11?1?

(n?1)!(n?1)!123???2!3!4!所以,Sn?n!??1?????11??1S??,故. ?1??2013??2014(n?1)!??n?14、如果一个正方体X与一个正四面体Y的表面面积(各面面积之和)相等,则其体

积之比

Vx? . Vy答案:43.

解:记表面面积为12(平方单位),则正方体每个面的面积为2,其边长为2,所以

132a?3,得a?2?34; Vx?2;正四面体每个面的面积为3,设其边长为a,则由432

1Vx于是Vy?2?3,因此?34?43.

Vy32?145、若椭圆中心到焦点,到长、短轴端点,以及到准线距离皆为正整数,则这四个距离

之和的最小值是 .

答案:61.

x2y2解:设椭圆方程为2?2?1,a?b?0,椭圆中心O到长、短轴端点距离为a,b,

aba2到焦点距离c满足:c?a?b,到准线距离d满足:d?,由于a,b,c组成勾股数,

c222满足a?20的勾股数组有?a,b,c???3,4,5?,?6,8,10?,?9,12,15?,?12,16,20?,?5,12,13?,

152202?25,而(a,b,c,d)?(15,12,9,25)使得 ?25与以及?8,15,17?,其中只有

169a?b?c?d的值为最小,这时有a?b?c?d?61.

6、函数f(x)?3x?6?3?x的值域是 .

答案:[1,2].

解:f(x)?3(x?2)?3?x的定义域为[2,3],故可设x?2?sin?(0???则f(x)?3sin??1?sin??3sin??cos??2sin(??而

222?2),

?6),

?2?1?,这时?sin(??)?1,因此1?f?2.

663267、设合数k满足:1?k?100,而k的数字和为质数,就称合数k为“山寨质数”, ?????则这种“山寨质数”的个数是 . 答案:23个.

解:用S(k)表示k的数字和;而M(p)表示山寨为质数p的合数的集合.当k?99时,

S(k)?18,不大于18的质数共有7个,它们是:2,3,5,7,11,13,17,山寨为2的合数有

M(2)??20?,而M(3)??12,21,30?,M(5)??14,32,50?,M(7)??16,25,34,52,70?; M(11)??38,56,65,74,92?,M(13)??49,58,76,85,94?,M(17)??98?;

共得23个山寨质数.

8、将集合?1,2,3,4,5,6,7,8?中的元素作全排列,使得除了最左端的一个数之外,对

于其余的每个数n,在n的左边某个位置上总有一个数与n之差的绝对值为1,那么,满足条件的排列个数为 .

答案:128.(即2个).

解:设对于适合条件的某一排列,排在左边的第一个元素为k,(1?k?8),则在其余

77个数中,大于k的8?k个数k?1,k?2,个数1,2,,8,必定按递增的顺序排列;而小于k的k?1,k?1,必定按递降的顺序排列(位置不一定相邻)

事实上,对于任一个大于k的数k?n,设k?n?8,如果k?n?1排在k?n的左边, 则与k?n?1相差1的另一数k?n?2就必须排在k?n?1的左边;同样,与k?n?2相差1的另一数k?n?3又必须排在k?n?2的左边;…,那么,该排列的第二个数不可能与k相差1,矛盾!因此k?n?1必定排在k?n的右边. 用类似的说法可得,小于k的k?1个数1,2,,k?1,必定按递降的顺序排列;

由于当排在左边的第一个元素k确定后,右边还有7个空位,从中任选8?k个位置填

8?k写大于k的数,(其余k?1个位置则填写小于k的数),选法种数为C7;而当位置选定后,

87则填数方法随之唯一确定,因此所有排法种数为

二、解答题

?Ck?18?k7??C7j?27.

k?09、(20分)设直线x?y?1与抛物线y2?2px(p?0)交于点A,B,若OA?OB,

求抛物线方程以及?OAB的面积.

解:设交点A(x1,y1),B(x2,y2),由

yDAy2?2px与x?y?1,得y2?2py?2p?0,

OCx故有x1?1?p?以及x2?1?p?p2?2p,y1??p?p2?2p,

Bp2?2p,y2??p?p2?2p.

因OA?OB,即OA?OB?0,所以x1x2?y1y2?0,即

2222???(1?p)?(p?2p)?p?(p?2p)??????0,化简得1?2p?0,因此抛物线方程为

?3?5?1?5??3?5?1?5?y?x,从而交点A,B坐标为:A????2,?,B??2,?, 22????222OA2?x12?y12?5?25,OB2?x2?y2?5?25,

因此S?OAB?11OA?OB?5. 2210、(20分)如图,四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,P是对角线BD