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2013年全国高中数学联赛江西省预赛

试题解答

一、填空题（每题8分）

1、若2013的每个质因子都是某个正整数等差数列?an?中的项，则a2013的最大值

是 ．

答案：4027．

解：2013?3?11?61，若3,11,61皆是某正整数等差数列中的项，则公差d应是

11?3?8与61?3?58的公因数，为使a2013取得最大，则其首项a1和公差d都应取尽可能

大的数，于是a1?3,d?2，所以a2013的最大值是3?2012d?4027．

2、若a,b,c?0，

答案：36．

123???1，则a?2b?3c的最小值为 ． abc2?123??????1?2?3??36． ?abc?解：据柯西不等式，a?2b?3c??a?2b?3c???1233、若Sn?n!??????2!3!4!答案：???n?1?，则S2013? ．

(n?1)!?1． 2014解：因

k(k?1)?111???，则

(k?1)!(k?1)!k!(k?1)!?n1?12?13?1????(n?1)!1!2!3!?(n?1)?11?1?

(n?1)!(n?1)!123???2!3!4!所以，Sn?n!??1?????11??1S??，故． ?1??2013??2014(n?1)!??n?14、如果一个正方体X与一个正四面体Y的表面面积（各面面积之和）相等，则其体

积之比

Vx? ． Vy答案：43．

解：记表面面积为12（平方单位），则正方体每个面的面积为2，其边长为2，所以

132a?3，得a?2?34； Vx?2；正四面体每个面的面积为3，设其边长为a，则由432

1Vx于是Vy?2?3，因此?34?43．

Vy32?145、若椭圆中心到焦点，到长、短轴端点，以及到准线距离皆为正整数，则这四个距离

之和的最小值是 ．

答案：61．

x2y2解：设椭圆方程为2?2?1，a?b?0，椭圆中心O到长、短轴端点距离为a,b，

aba2到焦点距离c满足：c?a?b，到准线距离d满足：d?，由于a,b,c组成勾股数，

c222满足a?20的勾股数组有?a,b,c???3,4,5?,?6,8,10?,?9,12,15?,?12,16,20?,?5,12,13?,

152202?25，而(a,b,c,d)?(15,12,9,25)使得 ?25与以及?8,15,17?，其中只有

169a?b?c?d的值为最小，这时有a?b?c?d?61．

6、函数f(x)?3x?6?3?x的值域是 ．

答案：[1,2]．

解：f(x)?3(x?2)?3?x的定义域为[2,3]，故可设x?2?sin?(0???则f(x)?3sin??1?sin??3sin??cos??2sin(??而

222?2)，

?6)，

?2?1?，这时?sin(??)?1，因此1?f?2．

663267、设合数k满足：1?k?100，而k的数字和为质数，就称合数k为“山寨质数”， ?????则这种“山寨质数”的个数是 ． 答案：23个．

解：用S(k)表示k的数字和；而M(p)表示山寨为质数p的合数的集合．当k?99时，

S(k)?18，不大于18的质数共有7个，它们是：2,3,5,7,11,13,17，山寨为2的合数有

M(2)??20?，而M(3)??12,21,30?,M(5)??14,32,50?,M(7)??16,25,34,52,70?； M(11)??38,56,65,74,92?，M(13)??49,58,76,85,94?，M(17)??98?；

共得23个山寨质数．

8、将集合?1,2,3,4,5,6,7,8?中的元素作全排列，使得除了最左端的一个数之外，对

于其余的每个数n，在n的左边某个位置上总有一个数与n之差的绝对值为1，那么，满足条件的排列个数为 ．

答案：128．（即2个）．

解：设对于适合条件的某一排列，排在左边的第一个元素为k，(1?k?8)，则在其余

77个数中，大于k的8?k个数k?1,k?2,个数1,2,,8，必定按递增的顺序排列；而小于k的k?1,k?1，必定按递降的顺序排列（位置不一定相邻）

事实上，对于任一个大于k的数k?n，设k?n?8，如果k?n?1排在k?n的左边， 则与k?n?1相差1的另一数k?n?2就必须排在k?n?1的左边；同样，与k?n?2相差1的另一数k?n?3又必须排在k?n?2的左边；…，那么，该排列的第二个数不可能与k相差1，矛盾！因此k?n?1必定排在k?n的右边． 用类似的说法可得，小于k的k?1个数1,2,,k?1，必定按递降的顺序排列；

由于当排在左边的第一个元素k确定后，右边还有7个空位，从中任选8?k个位置填

8?k写大于k的数，（其余k?1个位置则填写小于k的数），选法种数为C7；而当位置选定后，

87则填数方法随之唯一确定，因此所有排法种数为

二、解答题

?Ck?18?k7??C7j?27．

k?09、（20分）设直线x?y?1与抛物线y2?2px(p?0)交于点A,B，若OA?OB，

求抛物线方程以及?OAB的面积．

解：设交点A(x1,y1),B(x2,y2)，由

yDAy2?2px与x?y?1，得y2?2py?2p?0，

OCx故有x1?1?p?以及x2?1?p?p2?2p,y1??p?p2?2p，

Bp2?2p,y2??p?p2?2p．

因OA?OB，即OA?OB?0，所以x1x2?y1y2?0，即

2222???(1?p)?(p?2p)?p?(p?2p)??????0，化简得1?2p?0，因此抛物线方程为

?3?5?1?5??3?5?1?5?y?x，从而交点A,B坐标为：A????2,?,B??2,?， 22????222OA2?x12?y12?5?25,OB2?x2?y2?5?25，

因此S?OAB?11OA?OB?5． 2210、（20分）如图，四边形ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点，P是对角线BD