内容发布更新时间 : 2024/12/23 0:47:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
(十八) 极大值与极小值
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[基础达标练]
一、填空题
1．函数y＝2－x－x的极大值为________；极小值为________．
22
【解析】 ∵y′＝－2x－3x＝－x(3x＋2)，由y′＝0得x＝0或x＝－.函数在
3
2
3
?－∞，－2?，(0，＋∞)上都递减，在?－2，0?上递增，所以函数的极大值为f(0)＝2，极??3?3??????2?50小值为f?－?＝.
?3?27
【答案】 2
50 27
2
2．函数f(x)＝＋ln x(x＞0)的极小值为________.
x【：95902230】
221
【解析】 ∵f(x)＝＋ln x(x＞0)，∴f′(x)＝－2＋.由f′(x)＝0解得x＝2.
xxx当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．
2
∴x＝2为f(x)的极小值点，所以函数f(x)＝＋ln x的极小值为f(2)＝1＋ln 2.
x【答案】 1＋ln 2
x2＋a3．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
x＋1
x2＋2x－a【解析】 f′(x)＝(x≠－1)，又y＝f(x)在x＝1处取得极值，则f′(1)＝
x＋2
0，解得a＝3.
【答案】 3
4．已知函数f(x)＝x＋bx＋cx的图象如图3-3-7所示，则x1＋x2等于______.
【：95902231】
3
2
2
2
图3-3-7
【解析】 由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，
因此1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x－3x＋2x，所以f′(x)222
＝3x－6x＋2.x1，x2是方程f′(x)＝3x－6x＋2＝0的两根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝，所以3
22
x21＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝4－＝. 32
48
33
8
【答案】
3
5．函数y＝x－3x－9x(－2＜x＜2)的极大值为______．
【解析】 y′＝3x－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令y′＝0，得x＝－1或x＝3.当－2＜x＜－1时，y′＞0；当－1＜x＜2时，y′＜0.所以当x＝－1时，函数有极大值，且极大值为5，无极小值．
【答案】 5
6．已知函数f(x)＝ax＋bx＋c，其导函数图象如图3-3-8所示，则函数f(x)的极小值是________．
3
2
2
3
2
图3-3-8
【解析】 由函数导函数的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上递减，在(0,2)上递增，所以函数f(x)在x＝0时取得极小值c.
【答案】 c
7．若函数f(x)＝x－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
【：95902232】
【解析】 令f(x)＝0得a＝3x－x，于是y＝a和y＝3x－x有3个不同交点，画出y＝3x－x的图象即可解决．结合图象，可知－2＜a＜2.
【答案】 －2＜a＜2
8．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图3-3-9所示，给出下列判断：
3
3
3
3
图3-3-9
1?? ①函数y＝f(x)在区间?－3，－?内单调递增；
2??1??－，3?内单调递减； ②函数y＝f(x)在区间?
?2?
③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增； ④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值； 1
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
2则上述判断中正确的是________(填序号)．
1??【解析】 从题图知，当x∈(－3，－2)时，f′(x)＜0，当x∈?－2，－?时，f′(x)2??＞0，
1???1?所以函数y＝f(x)在? －3，－?内不单调，同理，函数y＝f(x)在?－，3?内也不单调，
2???2?故①②均不正确；当x∈(4,5)时，f′(x)＞0，所以函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增，故③正确；由于f′(2)＝0，且在x＝2的左、右两侧的附近分别有f′(x)＞0与f′(x)＜0，
1
所以当x＝2时函数y＝f(x)取得极大值，而在x＝－的左、右两侧的附近均有f′(x)
2＞0，
1
所以x＝－不是函数y＝f(x)的极值点，即④⑤均不正确．故填③.
2【答案】 ③ 二、解答题 9．求函数f(x)＝
2x－2的极值. x＋1
2
【：95902233】
【解】 函数的定义域为R.f′(x)＝x2＋－4x2
＝－x2＋2x－x＋
2
x＋2
，令f′(x)
＝0得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) (－∞，－1) － ↘ －1 0 极小值 (－1,1) ＋ ↗ 1 0 极大值 (1，＋∞) － ↘ f(x) 由表可知，当x＝－1时，函数取得极小值f(－1)＝－3.当x＝1时，函数取得极大值f(1)＝－1.
13
10．设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂
2x2直于y轴．
(1)求a的值；