内容发布更新时间 : 2025/1/4 3:12:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
b??y＝x，bb解析 由题意，不妨设直线OA的方程为y＝x，直线OB的方程为y＝－x.由?aaa??x2＝2py，
得x＝2p 2x，
2
2pb2pb?2pb，2pb?∴x＝，y＝2，∴A?2?.
2
2
baaa?aa?p?
设抛物线C2的焦点为F，则F?0，?，
?2?－a2
∴kAF＝. 2pb2
?
2pb2
pa∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，∴kAF2kOB＝－1， －a2?b?b25∴2?－?＝－1，∴2＝.
2pba4?a?
2
2pb2
pac2a2＋b259设C1的离心率为e，则e＝2＝2＝1＋＝. aa44
2
3
∴e＝. 23答案 2
4.(20122浙江，16)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1：y＝x＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x＋(y＋4)＝2到直线l：
2
2
2
y＝x的距离，则实数a＝________.
|4|
解析 曲线C2到l的距离d等于圆心到直线的距离减去半径，即d＝－2＝2，
2所以曲线C1到l的距离为2，
则曲线C1与直线l不能相交，即x＋a>x， ∴x－x＋a>0.设C1：y＝x＋a上一点为(x0，y0)， 则点(x0，y0)到直线l的距离
2
2
2
d＝
?x0－1?＋a－1?2
2?4?|x0－y0|－x0＋x0＋a?
2
＝2
＝2
1
49＝2，所以a＝. 42
2
a－
≥
6
9答案 4
x2y23
5.(20162北京，19)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，
ab2O(0，0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|2|BM|为定值. (1)解 由已知c3a＝
2，1
2
ab＝1. 又a2
＝b2
＋c2
，解得a＝2，b＝1，c＝3. ∴椭圆方程为x2
2
4
＋y＝1.
(2)证明 由(1)知，A(2，0)，B(0，1). 设椭圆上一点P(xx20
0，y0)，则4＋y0＝1.
当xy0
0≠0时，直线PA方程为y＝x
0－2
(x－2)，令x＝0得y－2y0
M＝x－2.
0从而|BM|＝|1－yM|＝??1＋2y0?
x???
. 0－2直线PB方程为y＝y0－1
xx＋1. 0
令y＝0得x－x0
N＝
y1
. 0－∴|AN|＝|2－xN|＝??2＋x0?
y?
.
0－1??
∴|AN|2|BM|＝??x0?
2＋y?2?0－1????1＋2y0x?
??
0－2＝?
?x0＋2y0－2?x?2?x0＋2y0－2?
0－2????y0－1??
＝??x2
2
0＋4y0＋4x0y0－4x0－8y0＋4?x－x? 0y00－2y0＋2??
＝?
?4x0y0－4x0－8y0＋8?x?＝0y0－x0－2y0＋2?
?
4.
当x0＝0时，y0＝－1， |BM|＝2，|AN|＝2，
7
所以|AN|2|BM|＝4. 故|AN|2|BM|为定值.
6.(20162江苏，22)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：
y2＝2px(p＞0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程； (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)； ②求p的取值范围.
(1)解 ∵l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2，0). 即抛物线的焦点为(2，0)，∴p2＝2，p＝4.
∴抛物线C的方程为y2
＝8x.
(2)①证明 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).
2
?则???y1＝2px1，?
x＝y21
11－y22p?PQ＝
y?
y22px则2＝2，?2p，
y2
∴k??x＝2
y2y2＝， 12y1＋y2
2p，
2p－2
2p又∵P、Q关于l对称.∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2p， ∴y1＋y2
2＝－p，又∵PQ的中点一定在l上， ∴
x1＋x2y1＋y2
2
＝
2
＋2＝2－p.
∴线段PQ的中点坐标为(2－p，－p). ②解 ∵PQ的中点为(2－p，－p)，
?∴?y1＋y2＝－2p，???y1＋y2＝－2p，??
xy221＋y21＋x2＝2p＝4－2p，即???y2y22
1＋2＝8p－4p，∴???y1＋y2＝－2p，?即关于y的方程y2＋2py＋4p2
－4p＝0，有两个不等实根.∴Δ＞?
y2
，0. 1y2＝4p－4p即(2p)2－4(4p2
－4p)＞0，解得0＜p＜4?4?3，故所求p的范围为??0，3??
.
8
12
7.(20152浙江，19)已知椭圆＋y＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称.
22
x2
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).
1
解 (1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
m??2＋y＝1，由?消去y，得
1
??y＝－mx＋b，
2
x2
?1＋12?x2－2bx＋b2－1＝0. ?2m?m??
1x422因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b＋2＋2＞0，①
m2m2
mb?1m＋2?2mb将AB中点M?2，2?代入直线方程y＝mx＋解得b＝－2，②
22m?m＋2m＋2?
由①②得m＜－
66
或m＞. 33
22
1?6??6?
(2)令t＝∈?－，0?∪?0，?，
m?22???
342
－2t＋2t＋
2.
12
t＋
2
则|AB|＝t＋12
2
t2＋
且O到直线AB的距离为d＝设△AOB的面积为S(t)， 1
所以S(t)＝|AB|2d
21＝2
1?222?－2?t－?＋2≤. 2?2?
1
2
t2＋1
.
12
当且仅当t＝时，等号成立.
2
9
故△AOB面积的最大值为
2. 2
x2y23
8.(20152天津，19)已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为，点ab3M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x＋y＝截得的线段的长为c，|FM|＝
4
(1)求直线FM的斜率； (2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.
2
2
b2
43
. 3
c21
解 (1)由已知有2＝，
a3
又由a＝b＋c，可得a＝3c，b＝2c.
设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c，0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c). 3?kc?2?c?2?b?2
由已知，有S?2?＋??＝??，解得k＝. 3?k＋1??2??2?
2
2
2
2
2
2
2
x2y23
(2)由(1)得椭圆方程为2＋2＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消
3c2c3
去y，整理得3x＋2cx－5c＝0，
5?23?
解得x＝－c，或x＝c.因为点M在第一象限，可得M的坐标为?c，c?.
33??由|FM|＝2
2
?23?243（c＋c）＋?. c－0?＝
3?3?
2
解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.
32(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t， 得t＝
x2y2
yx＋1
，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立.
y＝t（x＋1），??22
消去y，整理得 ?xy＋＝1，??32
2x＋3t(x＋1)＝6， 又由已知，得t＝6－2x2， 2＞3（x＋1）
2
2
2
2
3
解得－＜x＜－1，或－1＜x＜0.
2
10