内容发布更新时间 : 2024/11/8 15:08:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
y222
设直线OP的斜率为m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m＝2－.
xx3
?3?①当x∈?－，－1?时，有y＝t(x＋1)＜0，
?2?
因此m＞0，于是m＝
2?223?
－，得m∈?，?. x33??32
2
②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)＞0. 因此m＜0，于是m＝－23??
得m∈?－∞，－?.
3??
23??223??
综上，直线OP的斜率的取值范围是?－∞，－?∪?，?.
3??33??9.(20142北京，19)已知椭圆C：x＋2y＝4. (1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x＋y＝2的位置关系，并证明你的结论. 解 (1)由题意，椭圆C的标准方程为
2
2
2
2
2
－， x3
2
2
x2y2
4
＋＝1. 2
2
2
2
2
2
所以a＝4，b＝2，从而c＝a－b＝2. 因此a＝2，c＝2. 故椭圆C的离心率e＝＝2
2
ca2. 2
(2)直线AB与圆x＋y＝2相切.证明如下：
设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x0≠0. →→
因为OA⊥OB，所以OA2OB＝0，即tx0＋2y0＝0， 2y0
解得t＝－. x0
当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，得t＝±2，
2故直线AB的方程为x＝±2.圆心O到直线AB的距离d＝2. 此时直线AB与圆x＋y＝2相切. 当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝2
2
t2
y0－2
(x－t)， x0－t即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.
11
圆心O到直线AB的距离d＝2y022
又x0＋2y0＝4，t＝－，
|2x0－ty0|（y0－2）＋（x0－t）
22 . x0
2y0
|2x0＋|故d＝
＝2
x20＋y0＋2＋4
4y0
22
x0
?4＋x0??x0???
2x40＋8x0＋16
22x0
2
＝2.
x0
2
此时直线AB与圆x＋y＝2相切.
轨迹与轨迹方程
2
x2y22
10.(20152四川，20)如图，椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率是，过点P(0，1)的动
ab2
直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22.
(1)求椭圆E的方程；
|QA||PA|
(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？
|QB||PB|若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)由已知，点(2，1)在椭圆E上，
b??a因此?a－b＝c，
c2＝??a2，22
2
2
2
1
＋2＝1，
解得a＝2，b＝2， 所以椭圆E方程为＋＝1.
42
(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点， 如果存在定点Q满足条件，
|QC||PC|则有＝＝1，即|QC|＝|QD|，
|QD||PD|
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0)，
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为(0，2)，
12
x2y2
(0，－2)， 由
|QM||PM||y0－2|2－1
＝，有＝， |QN||PN||y0＋2|2＋1
解得y0＝1，或y0＝2，
所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0，2)， |QA||PA|下面证明：对任意直线l，均有＝，
|QB||PB|当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立，
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，
y2)，
xy??＋＝1，22联立?42得(2k＋1)x＋4kx－2＝0，
??y＝kx＋1，
其判别式Δ＝(4k)＋8(2k＋1)＞0， 4k2所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－2，
2k＋12k＋111x1＋x2
因此＋＝＝2k，
2
2
2
2
x1x2x1x2
易知，点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2，y2)，
又kQA＝
y1－2kx1－11
＝＝k－， x1x1x1
y2－2kx2－111
kQB′＝＝＝－k＋＝k－，
－x2－x2x2x1
所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三点共线， |QA||QA||x1||PA|所以＝＝＝，
|QB||QB′||x2||PB|故存在与P不同的定点Q(0，2)， |QA||PA|使得＝恒成立.
|QB||PB|
x2y25
11.(20142广东，20)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点为(5，0)，离心率为. ab3
(1)求椭圆C的标准方程；
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(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
解 (1)由题意知c＝5，e＝＝∴a＝3，b＝a－c＝4， 故椭圆C的标准方程为＋＝1.
94(2)设两切线为l1，l2，
①当l1⊥x轴或l1∥x轴时，l2∥x轴或l2⊥x轴， 可知P(±3，±2)；
②当l1与x轴不垂直且不平行时，x0≠±3，设l1的斜率为k，则k≠0，则l2的斜率为－1
2
2
2
ca5， 3
x2y2
k，
l1的方程为y－y0＝k(x－x0)，与＋＝1联立，
9
4
整理得(9k＋4)x＋18(y0－kx0)kx＋9(y0－kx0)－36＝0，
∵直线与椭圆相切，∴Δ＝0，得9(y0－kx0)k－(9k＋4)[(y0－kx0)－4]＝0， ∴－36k＋4[(y0－kx0)－4]＝0， ∴(x0－9)k－2x0y0k＋y0－4＝0，
∴k是方程(x0－9)x－2x0y0x＋y0－4＝0的一个根， 1222
同理－是方程(x0－9)x－2x0y0x＋y0－4＝0的另一个根，
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
x2y2
k?1?y0－422
∴k2?－?＝2，得x0＋y0＝13，其中x0≠±3，
?k?x0－9
∴点P的轨迹方程为x＋y＝13(x≠±3)， 检验P(±3，±2)满足上式. 综上：点P的轨迹方程为x＋y＝13.
12.(20142湖北，21)在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围. 解 (1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1， 即（x－1）＋y＝|x|＋1， 化简整理得y＝2(|x|＋x).
22
2
2
2
2
2
2
14
故点M的轨迹C的方程为y2
??4x，x≥0，＝? ?0，x<0.?
2
(2)在点M的轨迹C中，记C1：y＝4x，C2：y＝0(x<0). 依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2).
??y－1＝k（x＋2），
由方程组?2
?y＝4x，?
可得ky－4y＋4(2k＋1)＝0.①
1
(a)当k＝0时，此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.
4
2
?1?故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点?，1?. ?4?
(b)当k≠0时，
方程①的判别式为Δ＝－16(2k＋k－1).② 设直线l与x轴的交点为(x0，0)， 则由y－1＝k(x＋2)， 2k＋1
令y＝0，得x0＝－.③
2
k??Δ<0，1(ⅰ)若?由②③解得k<－1，或k>.
2?x0<0，?
?1?即当k∈(－∞，－1)∪?，＋∞?时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此
?2?
时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
??1??Δ＝0，??Δ>0，?1????(ⅱ)若或，由②③解得k∈－1，?，或k∈?－，0?.
2??2???x0<0?x0≥0???1?
即当k∈?－1，?时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点.
2??
?1?当k∈?－，0?时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点.
?2?
1??1???故当k∈?－，0?∪－1，?时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点.
2??2??
?Δ>0，?11
(ⅲ)若?由②③解得－1 1??1??即当k∈?－1，－?∪?0，?时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点， 2??2??故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点. ?1?综合(1)(2)可知，当k∈(－∞，－1)∪?，＋∞?∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个 ?2? 15