内容发布更新时间 : 2024/5/30 14:49:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1 概率部分

1.1 概率这门课的特点

与线性代数一样，概率也比高数容易，花同样的时间复习概率也更为划算。但与线代一样，概率也常常被忽视，有时甚至被忽略。一般的数学考研参考书是按高数、线代、概率的顺序安排的，概率被放在最后，复习完高数和线代以后有可能时间所剩无多；而且因为前两部分分别占60%和20的分值，复习完以后多少会有点满足心理；这些因素都可能影响到概率的复习。

概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大”。在高数部分，公式、定理和性质虽然有很多，但其中相当大一部分都比较简单，还有很多可以借助理解来记忆；在线代部分，需要记忆的公式定理少，而需要通过推导相互联系来理解记忆的多，所以记忆量也不构成难点；但是在概率中，由大量的概念、公式、性质和定理需要记清楚，而且若靠推导来记这些点的话，不但难度大耗时多而且没有更多的用处（因为概率部分考试时对公式定理的内在推导过程及联系并没有什么要求，一般不会在更深的层次上出题）。

记得当初看到陈文灯复习指南概率部分第二章《随机变量及其分布》、第三章《随机变量的数字特征》中在每章开始列出的那些大表格时，感觉其中必然会有很多内容是超纲的、不用细看；但后来复习时才发现，可以省略不看的内容少之又少，由大量的内容需要记忆。所以对于概率部分相当多的内容都只能先死记硬背，然后通过足量做题再来牢固掌握，走一条“在记忆的基础上理解”的路。

记牢公式性质，同时保证足够的习题量，考试时概率部分20%的分值基本上就不难拿到了。 1.2

概率第一章《随机事件和概率》

本章内容在历年真题中都有涉及，难度一般不大。虽然对于本章中的古典概型可以出很难的题目，但大纲的要求并不高，考试时难题很少。填空、选择常考关于事件概率运算的题目，大多围绕形如P(AB)?P(AB)、

P(B|A)?P(B|A)、P(A?B?C)这样的式子利用各种概率运算公式求解；其它内容如全概率公

式和贝叶斯公式在小题中和大题中都有可能考到。

在“概率事件的关系及运算”部分有很多公式可以借助画集合运算图来辅助做题，比如事件

A若与事件B有

包含关系B?A，则可作图长方形内的点都属于B的范围，圆形则代表A的范围。这样一来

即易看出事件包含关系的定义“

A发生时B必发生，B发生时A不一定发生”；

事件

A与B的并A?B可作图

，则

A?B是A、B两个圆形（包含相交部分），

对于这个大图形中的任意一点来说，不是属于的定义；同理，事件

A就是属于B，体现了A?B “事件A与B至少有一个发生”

A与B的差A?B表示事件A与B同时发生，在上图中所有满足条件的点组成了两圆

相交的那一部分。

对于其它的概率运算公式也可用图辅助理解，有的题甚至可以直接通过作图来得到答案。如公式

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)可以借助右图表示

公式左端的P(A?B?C)等于

A、B、C三个圆形各自互不相交的三部分再

A、B、C各自互不相交

加上a,b,c,d四小部分，而公式右端中的P(A)?P(B)?P(C)代表的区域包括的三部分?(2a?2b?2c?2d)，比左端多加了一次a,b,c和两次d，这时等式是不平衡的；再减去

[P(AB)?P(BC)?P(AC)]即是2a?2b?2c?3d?(a?d)?(c?d)?a?b?c，与公式

左端所代表的图形相比只少了一块d，加上即可，故再加P(ABC)后等式成立。

区别互斥、互逆、对立与不相容：事件与事件B对立就是

A与事件B互斥也叫A与B不相容，即A?B??，事件AA与B互逆，即为A与A的关系。

?P(AB)?P(A)?P(AB)(1)?公式组?在历年考研真题中频繁用到，很多题利用这三个公式间P(AB)?P(A)?P(B|A)(2)?P(AB)?P(A)?P(B)(A,B相互独立)(3)?的相互转化关系很容易求得答案。这三个公式的含义从直观上就能理解：公式（1）表示事件概率等于

A、B同时发生的

A发生的概率减去A发生而B不发生的概率；（2）式表示事件A、B同时发生的概率等于A发生

A发生的条件下B也发生的概率；当A、B相互独立时，也就是指事件A与事件B的发生互

，

此

时

应

该

有

的概率乘以在不

影

响

P(B|A)?P(B)、

P(A|B)?P(A)所以

P(AB)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B)由（2）式即可得出（3）式。出题人从这三个公式意义上的相

通性出发可以很灵活地构造题目，在后面的评题中会对这个知识点作更具体的讨论。 1.3

第二章《随机变量及其分布》、第三章《随机变量的数字特征》、第四章《大数定律和中心极限定理》

对于这一部分的复习可说的东西不多，因为在考试中出现的概率题目其实有相当大一部分难度是被解题所用的繁杂公式“分走”了，既然理解、掌握和牢记公式本身就不容易，那么题目的结构相对而言就要简单一些，我们甚至会发现历年真题中的有的题就像是课本上的例题一样。

这种情况有点像我们在英语考试中作阅读理解题，问题本身的含义并不复杂，难就难在文章中的单词“似曾相识”和句子看不懂上。而英国学生考“语文”时做的阅读理解问题肯定要比我们遇到的题目要复杂深入的多——

因为考察的重点不一样。所以对于概率部分的复习，有两个步骤即可：首先是牢记公式，然后是把题做熟,在练习过程中透彻理解概念公式和性质定理。

陈文灯复习指南概率第二、三章把知识点列成了大表格，所有东西一目了然，复习时用来记忆和对比很方便。对于第二章的大表格也可以利用各部分之间的联系来对照复习，比如说二维分布的性质基本上与一维分布的性质一一对应（类似于二重积分和定积分性质之间的关系），二维边沿分布的内容与一维分布本质上也是相通的，离散型和连续型分布的各知识点也可互相对比、区别记忆。也就是“一维和二维相联系、离散和连续相对比、随机变量分布和随机变量函数的分布相区别”。

同时对于重要分布如二项、泊松、正态、均匀、指数分布必需记得非常牢，因为考试时会直接拿这些分布做题干来考察各章知识点，万一出现“由于题干中的分布函数不会写或写错而导致整道大题知道怎么做也没法做”的情况将是非常可惜的。

本章的一维连续分布和二维离散分布在历年真题中出现频率最高，最常考分布是均匀、指数和正态分布。对

于一维连续型分布的性质可借助图像理解因为分布函数

F(x)??示

，

b???(x)dx?P{X?x}，所以P{X?x}P{a?x?b}分别可用图中的阴影部分表

易

看

x2容出多条性质，包括

??????(x)dx?1、

P(x1?x?x2)??x1?(x)dx?F(x2)?F(x1)等；而且在具体做题时用图像辅助理解也很有

效，比如频繁在真题中出现的正态分布，作图辅助解题的效果更为明显。

陈文灯复习指南第三章《随机变量的数字特征》也是用表格说话的，同样需要认真记好。本章在历年真题中最常出现的题目考察点是几个重点公式，尤其是式子

D(X)?E(X?E(X))2?E(X2)?E2(X)，大\\小题都可能利用这一式子的左端或右端出题而

以另一端设置答案。还有数学期望EX与方差DX的定义及性质也是考察重点，可由下表对比记忆：

数学期望EX 方差DX EX??x?(x)dx （??x连DX?E(x2)?E2(x) 续型） E(c)?c ?cE(X) D(c)?0 E(cX) E(XD(cX)?c2D(X) D(X?c)?D(X) ?c)?E(X)?c