内容发布更新时间 : 2024/5/21 7:51:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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第1章 函数与极限习题解答

1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.

解 不一定. 例如, 当x?0时, ?(x)?2x, ?(x)?3x都是无穷小, 但lim?(x)2?,

x?0?(x)3?(x)不是无穷小. ?(x)2. 函数y?xcos x在(??, ??)内是否有界？这个函数是否为当x??? 时的无穷大？为什么？

解 函数y?xcos x在(??, ??)内无界.

这是因为?M?0, 在(??, ??)内总能找到这样的x, 使得|y(x)|?M. 例如

y(2k?)?2k? cos2k??2k? (k?0, 1, 2, ? ? ?),

当k充分大时, 就有| y(2k?)|?M.

当x??? 时, 函数y?xcos x不是无穷大.

这是因为?M?0, 找不到这样一个时刻N, 使对一切大于N的x, 都有|y(x)|?M. 例如

y(2k??)?(2k??)cos(2k??)?0(k?0, 1, 2, ? ? ?),

222对任何大的N, 当k充分大时, 总有x?2k???N, 但|y(x)|?0?M.

2????

11+

3. 证明: 函数y?sin在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x?0时的无穷大.

xx11证明 函数y?sin在区间(0, 1]上无界. 这是因为

xx ?M?0, 在(0, 1]中总可以找到点xk, 使y(xk)?M. 例如当

xk?12k???2(k?0, 1, 2, ? ? ?)

时, 有

y(xk)?2k??当k充分大时, y(xk)?M.

?2,

11+

当x?0时, 函数y?sin不是无穷大. 这是因为

xx ?M?0, 对所有的??0, 总可以找到这样的点xk, 使0?xk??, 但y(xk)?M. 例如可取 1(k?0, 1, 2, ? ? ?), 2k?当k充分大时, xk??, 但y(xk)?2k?sin2k??0?M.

4. 计算下列极限:

xk?(1)limx2?1;

x??2x2?x?1..下载可编辑..

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1?12x?lim?1. 解 lim2x??2x?x?1x??2?1?122xxx2?1(2)limx2?x;

x??x4?3x2?1x2?x?0(分子次数低于分母次数, 极限为零)

x??x4?3x2?11?1x2x3?0. ?lim或 lim4x??x?3x2?1x??1?22?14xxx2?x解 lim1?3)(3)lim(;

x?11?x1?x32(1?x)(x?2)x?2??1. 解 lim(1?33)?lim1?x?x?32??lim??limx?11?x1?xx?1(x?1(1?x)(1?x?x)1?x)(1?x?x2)x?11?x?x2(4)limx2sin1; x?0x211解 limx2sin?0(当x?0时, x是无穷小, 而sin是有界变量).

x?0xx(5)limarctanx.

x??xarctanx?lim1?arctanx?01(当x??时, 是无穷小, 而arctan x是有界变量).

x??x??xxx解 lim(6)limxcotx;

x?0解 limxcotx?limx?0x?cosx?limx?limcosx?1.

x?0sinxx?0sinxx?0(7)lim1?cos2x;

x?0xsinx解法1 lim解法2 lim1?cos2x1?cos2x?lim?lim222x?0x?0x?0xsinxxx?2x?2?2.

1?cos2x?lim2sin2x?2limsinx?2.

x?0xsinxx?0xsinxx?0x(8)lim2nsinn??x(x为不等于零的常数). n2sinxnxn2?x?x. 解 lim2sinn?limn??2n??x2n..下载可编辑..

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1(9)lim(1?2x)xx?01解 lim(1?2x)xx?0;

1?22?lim(1?2x)x?x?0?122lim(1?2x)x?e2x?0?.

(10)lim(1?x)2x;

x??x解 lim(1?x)2x??lim(1?1)xx??xx??x?2?e2.

5. 利用极限存在准则证明:

1(1)lim1??1;

n??n111证明 因为1?1??1?, 而 lim1?1且lim(1?)?1, 由极限存在准则I,

n??nn??nn1lim1??1. n??n(2)limn?n??111??1; ?? ? ? ? ?n2??n2?2?n2?n?证明 因为

n2111n2??n2??? ?n?2?? ? ? ? ?2 2n?n?n??n2?2?n?n?n2n2?1, lim2?1, 而 lim2n??n?n?n??n??所以 limn?n??111??1? ?? ? ? ? ?n2??n2?2?n2?n?(3)lim?x?x?01??1. x1111证明 因为?1????, 所以1?x?x???1. 又因为lim?(1?x)?lim?1?1, 根据夹逼准则,

x?0x?0xxxx1??1.

x?0x6. 无穷小概念题

223

(1) 当x?0时 2x?x 与x?x相比 哪一个是高阶无穷小？ 有lim?x?x?x2?lim?0, 解 因为limx?02x?x2x?02?x23232

所以当x?0时 x?x是高阶无穷小, 即x?x?o(2x?x).

x2?x313

(2) 当x?1时 无穷小1?x和(ⅰ)1?x, (ⅱ)(1?x2)是否同阶？是否等价？

2(1?x)(1?x?x2)1?x3解 (ⅰ)因为lim?lim?lim(1?x?x2)?3,

x?11?xx?1x?11?x3

所以当x?1时, 1?x和1?x是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小. 1(1?x2)1?lim(1?x)?1, (ⅱ) 因为lim2x?11?x2x?1..下载可编辑..