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2017高中数学 第一章 解三角形章末演练轻松闯关 新人教A版必修
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[A 基础达标]
1．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为( ) A．A>B C．A≥B
B．A
D．A，B的大小关系不能确定
解析：选A.由正弦定理，可得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，其中R为△ABC外接圆的半径，因为sin A>sin B，三角形确定后，R为常数，所以a>b.又因为A，B为△ABC的内角，所以A>B.
2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝( ) A.6 36 3
22 B.
322 D．－
3
C．－解析：选A.已知a＝15，b＝10，A＝60°，在△ABC中，由正弦定理可得sin B＝310×
2362
＝＝，又由a>b可得A>B，即B为锐角，则cos B＝1－sinB＝.
1533
3．在△ABC中，已知a＝17，b＝24，A＝45°，则此三角形解的情况为( ) A．无解 C．一解
解析：选B.由正弦定理得sin B＝
B．两解
D．解的个数不确定
bsin Aabsin A122
＝<1，即sin B<1，因为A＝45°，所以a17
B有两解，即三角形有两解．
1
4．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a＝1，b＝2，cos C＝，则
4△ABC的周长为( )
A．5 C．8
B．3 D．4
1222
解析：选A.由余弦定理得c＝a＋b－2abcos C＝1＋4－2×1×2×＝4，所以c＝2，
4从而△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.
5．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于( )
A.3∶1∶1 C.2∶1∶2
解析：选A.由A∶B∶C＝4∶1∶1知
B．2∶1∶1 D．3∶1∶1
A＝120°，B＝30°，C＝30°，
所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C ＝
311∶∶ 222
＝3∶1∶1.
6．(2015·高考广东卷改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，
c＝23，cos A＝
2
3
且b 2 2 2 解析：由a＝b＋c－2bccos A，得4＝b＋12－6b，解得b＝2或4.又b 答案：2 sin C2 7．(2016·昆明一中检测)在△ABC中，BC＝3，AB＝2，且＝(6＋1)，则角A＝ sin B5________． sin C解析：设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.由题意得a＝3，c＝2，且 sin B2c2b＋c－a1＝(6＋1)＝，所以b＝＝6－1，所以cos A＝＝－，所以A＝5b22bc2 （6＋1）5120°. 答案：120° 8．(2016·宁德质检)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若2asin B＝3b，b＋c＝5，bc＝6，则a＝________． 解析：因为2asin B＝3b，所以2sin Asin B＝3sin 所以sin A＝3 ，因为△ABC为锐角三角形， 2 B. 2 2 2 1 所以cos A＝，因为bc＝6，b＋c＝5， 2所以b＝2，c＝3或b＝3，c＝2. 122222 所以a＝b＋c－2bccos A＝2＋3－2×6×＝7， 2所以a＝7. 答案：7 9．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC的面积． 解：由正弦定理， 得 75 ＝， sin 120°sin C53 所以sin C＝，且C为锐角(∠A＝120°)． 1411 所以cos C＝. 14 所以sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C) ＝ 3131115333cos C－sin C＝×－×＝. 2221421414 1133153所以S△ABC＝AB·BC·sin B＝×5×7×＝. 22144 10．(2015·高考陕西卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，3b)与n＝(cos A，sin B)平行． (1)求A； (2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积． 解：(1)因为m∥n，所以asin B－3bcos A＝0， 来源：ziyuanku.com由正弦定理，得sin Asin B－3sin Bcos A＝0， 又sin B≠0，从而tan A＝3. π 由于0＜A＜π，所以A＝. 3 ziyuanku.com(2)法一：由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A， π 而a＝7，b＝2，A＝， 3得7＝4＋c－2c，即c－2c－3＝0. 资源库 ziyuanku.co22 因为c＞0，所以c＝3. 133 故△ABC的面积为bcsin A＝. 2272 法二：由正弦定理，得＝， πsin Bsin 3从而sin B＝21. 7