内容发布更新时间 : 2024/5/14 16:57:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
直线与椭圆的综合问题检测题与详解答案
A级——保大分专练
1．(2019·长春二检)椭圆4x＋9y＝144内有一点P(3,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )
2
A．－
34C．－ 9
3B．－ 29D．－ 4
2
2
解析：选A 设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为
222
k，则4x21＋9y1＝144,4x2＋9y2＝144，两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
y1－y22
＝k，代入解得k＝－. x1－x23
x2y2
2．已知直线y＝－x＋1与椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率
ab为
2
，焦距为2，则线段AB的长是( ) 2
22A．
3C．2
42B．
3D．2
c2x22
解析：选B 由条件知c＝1，e＝＝，所以a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y＝1，
a22
1?42?4
联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，?，－?，所以|AB|＝. 3?3?3
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
4A．2 410C．
5
45B．
5810D．
5
x2
2
解析：选C 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，
??x＋4y＝4，由?
?y＝x＋t?
2
2
消去y，得5x＋8tx＋4(t－1)＝0，
22
84则x1＋x2＝－t，x1x2＝
5∴|AB|＝1＋k|x1－x2| ＝1＋k·2
2
t2－1
5
. x1＋x2
2
－4x1x2
＝2·
2
?－8t?2－4×4t－1 ?5?5??
＝
422
·5－t， 5
410
当t＝0时，|AB|max＝.
5
πxy4．(2019·石家庄质检)倾斜角为的直线经过椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点F，与
4ab―→―→
椭圆交于A，B两点，且AF＝2FB，则该椭圆的离心率为( )
A．3 22 2
B．2 33 3
2
2
2
2
C．D．xy??2＋2＝1，
解析：选B 由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立?ab??y＝x－c，
2
2
2
2
4
得
(b＋a)y＋2bcy－b＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A(x1，
??
y)，B(x，y)，则?－byy＝??a＋b，1
2
2
4
12
2
22
－2bcy1＋y2＝22，
a＋b2
??
∴－y＝2y，可得?－b－2y＝.??a＋b1
2
4
2
2
22－2bc－y2＝22，a＋b
―→―→
又AF＝2FB，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，
14c2∴＝2，故选B. 2，∴e＝2a＋b3
2
5．已知点P是椭圆＋＝1上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原
168―→―→―→
点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且F1M·MP＝0，则|OM|的取值范围是( )
A．[0,3) C．[22，3)
B．(0,22) D．(0,4]
x2y2
解析：选B 如图，延长F1M交PF2的延长线于点G. ―→―→―→―→∵F1M·MP＝0，∴F1M⊥MP. 又MP为∠F1PF2的平分线，
∴|PF1|＝|PG|，且M为F1G的中点．
1
∵O为F1F2中点，∴OM綊F2G.
2
∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF1|－|PF2||， ―→1
∴|OM|＝|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||.
2∵4－22<|PF2|<4或4<|PF2|<4＋22， ―→
∴|OM|∈(0,22)．
6．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的标准方程为________．
x2y2
解析：由题意知椭圆C的焦点在x轴上，且c＝1，可设椭圆C的方程为2＋2＝1(aaa－1
?3?422
＞1)，由|AB|＝3，知点?1，?在椭圆上，代入椭圆方程得4a－17a＋4＝0，所以a＝4或
?2?
1xya＝(舍去)．故椭圆C的标准方程为＋＝1.
443
2
2
2
答案：＋＝1
43
x2y2
x22
7．已知焦点在x轴上的椭圆C：2＋y＝1(a＞0)，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭
a圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为________．
x222解析：因为椭圆2＋y＝1(a＞0)的焦点在x轴上，所以c＝a－1，又过右焦点且垂直
ac22
于x轴的直线为x＝c，将其代入椭圆方程中，得2＋y＝1，则y＝±
a所以2
c21－2，又|AB|＝1，ac2c23c31－2＝1，得2＝，所以该椭圆的离心率e＝＝. aa4a2
3 2
答案：
8．已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此
42弦所在的直线方程为________．
解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k， 弦的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)， 则＋＝1 ①，＋＝1 ②， 4242①－②得
x2y2
x2y211x2y222
x1＋x2
4
x1－x2
＋
y1＋y2
2
y1－y2
＝0，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，