内容发布更新时间 : 2024/12/23 23:22:35星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
直线与椭圆的综合问题检测题与详解答案
A级——保大分专练
1.(2019·长春二检)椭圆4x+9y=144内有一点P(3,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )
2
A.-
34C.- 9
3B.- 29D.- 4
2
2
解析:选A 设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为
222
k,则4x21+9y1=144,4x2+9y2=144,两式相减得4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,
又x1+x2=6,y1+y2=4,
y1-y22
=k,代入解得k=-. x1-x23
x2y2
2.已知直线y=-x+1与椭圆2+2=1(a>b>0)相交于A,B两点,若椭圆的离心率
ab为
2
,焦距为2,则线段AB的长是( ) 2
22A.
3C.2
42B.
3D.2
c2x22
解析:选B 由条件知c=1,e==,所以a=2,b=1,椭圆方程为+y=1,
a22
1?42?4
联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1),?,-?,所以|AB|=. 3?3?3
3.斜率为1的直线l与椭圆+y=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为( )
4A.2 410C.
5
45B.
5810D.
5
x2
2
解析:选C 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,
??x+4y=4,由?
?y=x+t?
2
2
消去y,得5x+8tx+4(t-1)=0,
22
84则x1+x2=-t,x1x2=
5∴|AB|=1+k|x1-x2| =1+k·2
2
t2-1
5
. x1+x2
2
-4x1x2
=2·
2
?-8t?2-4×4t-1 ?5?5??
=
422
·5-t, 5
410
当t=0时,|AB|max=.
5
πxy4.(2019·石家庄质检)倾斜角为的直线经过椭圆2+2=1(a>b>0)的右焦点F,与
4ab―→―→
椭圆交于A,B两点,且AF=2FB,则该椭圆的离心率为( )
A.3 22 2
B.2 33 3
2
2
2
2
C.D.xy??2+2=1,
解析:选B 由题可知,直线的方程为y=x-c,与椭圆方程联立?ab??y=x-c,
2
2
2
2
4
得
(b+a)y+2bcy-b=0,由于直线过椭圆的右焦点,故必与椭圆有交点,则Δ>0.设A(x1,
??
y),B(x,y),则?-byy=??a+b,1
2
2
4
12
2
22
-2bcy1+y2=22,
a+b2
??
∴-y=2y,可得?-b-2y=.??a+b1
2
4
2
2
22-2bc-y2=22,a+b
―→―→
又AF=2FB,∴(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2),
14c2∴=2,故选B. 2,∴e=2a+b3
2
5.已知点P是椭圆+=1上的动点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,O是坐标原
168―→―→―→
点,若M是∠F1PF2的平分线上一点,且F1M·MP=0,则|OM|的取值范围是( )
A.[0,3) C.[22,3)
B.(0,22) D.(0,4]
x2y2
解析:选B 如图,延长F1M交PF2的延长线于点G. ―→―→―→―→∵F1M·MP=0,∴F1M⊥MP. 又MP为∠F1PF2的平分线,
∴|PF1|=|PG|,且M为F1G的中点.
1
∵O为F1F2中点,∴OM綊F2G.
2
∵|F2G|=||PF2|-|PG||=||PF1|-|PF2||, ―→1
∴|OM|=|2a-2|PF2||=|4-|PF2||.
2∵4-22<|PF2|<4或4<|PF2|<4+22, ―→
∴|OM|∈(0,22).
6.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=3,则椭圆C的标准方程为________.
x2y2
解析:由题意知椭圆C的焦点在x轴上,且c=1,可设椭圆C的方程为2+2=1(aaa-1
?3?422
>1),由|AB|=3,知点?1,?在椭圆上,代入椭圆方程得4a-17a+4=0,所以a=4或
?2?
1xya=(舍去).故椭圆C的标准方程为+=1.
443
2
2
2
答案:+=1
43
x2y2
x22
7.已知焦点在x轴上的椭圆C:2+y=1(a>0),过右焦点作垂直于x轴的直线交椭
a圆于A,B两点,且|AB|=1,则该椭圆的离心率为________.
x222解析:因为椭圆2+y=1(a>0)的焦点在x轴上,所以c=a-1,又过右焦点且垂直
ac22
于x轴的直线为x=c,将其代入椭圆方程中,得2+y=1,则y=±
a所以2
c21-2,又|AB|=1,ac2c23c31-2=1,得2=,所以该椭圆的离心率e==. aa4a2
3 2
答案:
8.已知P(1,1)为椭圆+=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,则此
42弦所在的直线方程为________.
解析:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k, 弦的端点坐标为(x1,y1),(x2,y2), 则+=1 ①,+=1 ②, 4242①-②得
x2y2
x2y211x2y222
x1+x2
4
x1-x2
+
y1+y2
2
y1-y2
=0,
∵x1+x2=2,y1+y2=2,