内容发布更新时间 : 2024/11/16 13:41:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

数列综合应用(放缩法)

数列综合应用（1）

————用

放缩法证明与数列和有关的不等式 一、备考要点

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．

二、典例讲解

1．先求和后放缩 例1．正数数列

?an?的前n项的和Sn，满足

2Sn?an?1，试求： （1）数列

?an?的通项公式；

（2）设bn?1a，数列?bn?的前n项的和

nan?1为Bn，求证：B?1n

22. 先放缩再求和

①．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn, 且a2n?an?2Sn.

) 求证：Sa22(1n?an?1n?4；

(2) 求证：Sn2?SSSn?1?11?S2?????n?2 ②．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：

a2n?(?a)n?(a?1)?an；

2

（2）等比数列{an}中，a1??12，前n项的和为An

，

且Aa27，A9，A8成等差数列．设bnn?1?a，数列{bn}

n前n项的和为B1n，证明：Bn＜

3．

③．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{an}满足：a1?1，

an?1?(1?n2n)an(n?1,2,3?)．求证： a1n?1?an?3?n?2n?1

④．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中， 若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数）， 则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. 记排列(n?1)n(n?1)?321

的逆序数为an，如排列21的逆序数a1?1，排列321的

逆序数a3?6．

（1）求a4、a5，并写出an的表达式；

（2）令ban1n??an?，证明： an?1an2n?b1?b2??bn?2n?3，n=1,2,….

高考真题再现：

1.（06浙江卷）已知函数

f(x)?x3?x2，数列{xn}

(xn＞0)的第一项x1＝1，以后各项按如下方式取定： 曲线

y?f(x)在(xn?1,f(xn?1))处的切线与经过

（0，0）和（xn，

f(xn)）两点的直线平行（如图）

求证：当n?N*时， (Ⅰ) x2?x2nn?3xn?1?2xn?1；

3