内容发布更新时间 : 2024/5/6 16:11:21星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第五章 常微分方程数值解法

§1引言

在实际工作中常常会遇到求解常微分方程的定解问题。虽然我们已经学过一些常微分方程的定解问题的解法，但是那只是对一些特殊类型的方程给出了解析方法。而实际问题中归纳出来的常微分方程往往不能用解析方法来求解。有时虽然能求出其解析式子，但真要求它在某一点的值时，还会遇到一些麻烦。见下例。

?y??1?2xy 例 已知初值问题? 求其解。

?y(0)?0?x2xt2 易知，y(x)?e?0edx。若要求它在某 一点的值，还要求

积分，而这个积分是不能求出的，需要用数值积分来求解。因此不如直接用数值解法求其解了。以下我们就研究常微分方程的数值解法。

本章主要考虑下列一阶方程的定解问题（又称初值问题）。

?y??f(x,y) ? （1-1）

?y(x0)?y0这里假设函数f(x,y)满足Lipschitz（李卜西兹）条件。即f(x,y)满足：

f(x,y)?f(x,y)?Ly?y

其中，L为某一常数。这是保证问题（1-1）有唯一解。下面就研究关于问题（1-1）的数值解法。

所谓数值解法，就是直接寻求解函数y(x)在一系列离散点

x1?x2???xn?xn?1??

上的近似值y1，y2，…，yn，yn?1，…。其中，xi?1?xi?hi称为步长，今后如果不特殊说明，我们总是假定是等步长的。即有

xi?1?xi?h ，此时节点xn?x0?nh，n?0,1,2,?。由于y(x0)?y0为已知，所以自然设想利用这个已知信息求出y(x1)的

近似值y1，然后由y1求得y(x2)的近似值y2，如此继续下去，这就是初值问题数值解法的一般思想。称为“步进法”。

§2 Euler方法（折线法） 2-1 Euler公式

这一方法是初值问题数值解中最简单的一个方法，其精度不高。所以实际计算中很少应用。但在某种程度上反映了数值方法的基本思想，且在此基础上得到的某些改进的方法目前还在使用，因此我们有必要介绍一下这种方法。

Euler公式的推导方法很多，在此我们用Tarlor展开的方法。

h2y??(?n) ∵ y(xn?1)?y(xn?h)?y(xn)?y?(xn)h?2!其中，?n?(xn,xn?1) ，由（1-1）式知，

h2y(xn?1)?y(xn)?hf[xn,y(xn)]?y??(?n) n?0,1,2,?

2!h2y??(?n)，即得 当h充分小时，略去2! y(xn?1)?y(xn)?hf[xn,y(xn)] 取近似，并写成等式得，

yn?1?yn?hf(xn,yn) n?0,1,2,? （2-1）

此即称为Euler公式。

h2由于略去的是y??(?n)，可见这就是误差。但这只是在计

2!算第n步时产生的误差，并非是从一开始到现在所产生的误差。因此我们称这个误差为局部截断误差。即在假定yn?y(xn)的假设下，计算y(xn?1)时产生的误差y(xn?1)?yn?1，称为局部截断误

h2y??(xn)。 差。由此知Euler公式的局部截断误差约为2!2-2后退的Euler公式

后退的Euler公式的推导同样也有许多方法。在此，我们用差 商代替导数的方法。因为

y(xn?1)?y(xn) y?(xn?1)?xn?1?xn假设yn?y(xn)，又有（1-1）知y?(xn?1)?f(xn?1,y(xn?1))，取近似整理得，

yn?1?yn?hf(xn?1,yn?1) n?0,1,2,? （2-2） 此即称为后退的（隐式）Euler公式。

公式（2-2）在计算yn?1时要用yn?1。这样的公式称为隐式公式，而象公式（2-1）的式子称为显式公式。对于隐式公式，在计算时要先给yn?1提供一个初值，然后再用给定的公式开始计算，通常称为迭代法。对（2-2）式的迭代公式如下，

(0)?yn?1?yn?hf(xn,yn) k?0,1,? （2-3） ?(k?1)(k)?yn?1?yn?hf(xn?1,yn?1)