内容发布更新时间 : 2024/11/5 18:40:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
分析 本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数F(x)??f(t)dt，找出F(x)
0x的三个零点，由已知条件易知F(0)?F(?)?0，x?0，x??为F(x)的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明f(x)在(0,?)之间存在两个零点．
证法1 令F(x)??f(t)dt,0?x??，则有F(0)?0,F(?)?0．又
0x??0f(x)cosxdx??cosxdF(x)?[cosxF(x)]?0??F(x)sinxdx
00????F(x)sinxdx?0，
0?由积分中值定理知，必有??(0,?)，使得
??0F(x)sinxdx=F(?)sin??(??0)．
故F(?)sin??0．又当??(0,?),sin??0，故必有F(?)?0． 于是在区间[0,?],[?,?]上对F(x)分别应用罗尔定理，知至少存在
?1?(0,?)，?2?(?,?)，
使得
F?(?1)?F?(?2)?0，即f(?1)?f(?2)?0．
证法2 由已知条件?f(x)dx?0及积分中值定理知必有
0???0f(x)dx?f(?1)(??0)?0，?1?(0,?)，
则有f(?1)?0．
xd)x若在(0,?)内，f(x)?0仅有一个根x??1，由?f(0??0知f(x)在(0,?1)与(?1,?)内异号，
不妨设在(0,?1)内f(x)?0，在(?1,?)内f(x)?0，由
???0f(x)cosxdx?0，?f(x)dx?0，
0?以及cosx在[0,?]内单调减，可知：
0??f(x)(cosx?cos?1)dx=?f(x)(cosx?cos?1)dx??f(x)(cosx?cos?1)dx?0．
00?1??1由此得出矛盾．故f(x)?0至少还有另一个实根?2，?1??2且?2?(0,?)使得 f(?1)?f(?2)?0.
例36计算???0dx．
x?4x?32分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．
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解???0tdxdx1t11==limlim(?)dx 22??00t???t???x?4x?3x?4x?32x?1x?31x?1t1t?11=lim[ln]0=lim(ln?ln) t???2t???2x?3t?33=
ln3． 2??例37计算?dx(x?1)23x?2x????2．
解???dx(x?1)2x2?2xdx(x?1)2(x?1)2?1?33x?1?sec???23sec?tan?d? 2sec?tan?????2cos?d??1?33． 2例38 计算?4dx(x?2)(4?x)2．
分析 该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当?43dx(x?2)(4?x)2和?dx(x?2)(4?x)3均收敛时，原反常积分才是收敛的．
解 由于
?3dx(x?2)(4?x)2=lim??a?23dx(x?2)(4?x)a=lim??a?23d(x?3)1?(x?3)2a
x?3)]3=lim[arcsin(a=?a?2?． 2b?4dx(x?2)(4?x)3=lim??b?4dx(x?2)(4?x)3=lim??b?4bd(x?3)1?(x?3)23
bx?3)]=lim[arcsin(3=?b?4?． 2?所以?4dx(x?2)(4?x)???22??2??．
例39计算?dxx(x?1)50．
分析此题为混合型反常积分，积分上限为??，下限0为被积函数的瑕点． 解令x?t，则有
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??52??dxx(x?1)50＝???2tdtt(t2?1)520＝2???dt(t2?1)520，
再令t?tan?，于是可得
???dt(t2?1)?2030＝?20dtan?(tan2??1)?052?＝?20?sec2?d?d?2＝ 53?0sec?sec?＝?cos?d?＝?2(1?sin2?)cos?d?
?＝?2(1?sin2?)dsin?
012/2＝[sin??sin3?]?＝． 033例40 计算?解 由于
1?1?x2dx． 21?x411d(x?)2xdx?1x，
??2112x?22?(x?)2xx1??可令t?x?1?11?xdx???21?x42221，则当x??2时，t??；当x?0?时，t???；当x?0?时，t???；
2x当x?1时，t?0；故有
?1?01?xdx???21?x4211d(x?)d(x?)x?1x
212?012?(x?)2?(x?)2xx??0d(t)dt ?22????2?t22?t2???21(??arctan)． 22注有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．
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y1例41求由曲线y?x，y?3x，y?2，y?1所围成的图形
2的面积．
分析若选x为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．下面选取以y为积分变量． 解选取y为积分变量，其变化范围为y?[1,2]，则面积元素为
?2?13y?3xy?2y?1o1y?x2212?1?234x?3图5－1 11dA=|2y?y|dy=(2y?y)dy．
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于是所求面积为
215A??(2y?y)dy=．
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例42抛物线y2?2x把圆x2?y2?8分成两部分，求这两部分面积之比．
解抛物线y2?2x与圆x2?y2?8的交点分别为(2,2)与如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分A1，A2，(2,?2)，
记它们的面积分别为S1，S2，则有
yx?y?8222A21?2?1o?1?21y2?2xA12x(2,?2) 图5－2
?y2844S1=?(8?y?)dy=8?4?cos2?d??=?2?，S2?8??A1=6??，于是
?2?33234224?2?S133??2==． S26??49??23例43 求心形线??1?cos?与圆??3cos?所围公共部分的面积．
分析心形线??1?cos?与圆??3cos?的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可． 解求得心形线??1?cos?与圆??3cos?的交点为(?,?)y21??1?cos??1o??3cos???1?323x3?=(,?)，由图形的对称性得心形线??1?cos?与圆23??3cos?所围公共部分的面积为
??1 图5－3
A=2[?30?1152(1?cos?)d????2(3cos?)2d?]=?． 243219
例44求曲线y?lnx在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与直线x?2，x?6和曲线y?lnx所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．
分析 要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式． 解 设所求切线与曲线y?lnx相切于点(c,lnc)，则切线方程为
yy?lnx3(c,lnc)21o?1123x?24567xx?6
图5－4
1又切线与直线x?2，x?6和曲线y?lnx所y?lnc?(x?c)．
c围成的平面图形的面积为
614A=?[(x?c)?lnc?lnx]dx=4(?1)?4lnc?4?6ln6?2ln2．
2cc由于
dA1644=?2?=?2(4?c)，
cdccc令
dAdAdA?0，解得驻点c?4．当c?4时?0，而当c?4时?0．故当c?4时，A取得dcdcdc1x?1?ln4． 4yx2?(y?b)2?a2(b?a?0)极小值．由于驻点唯一．故当c?4时，A取得最小值．此时切线方程为：
y?例45求圆域x2?(y?b)2?a2（其中b?a）绕x轴旋转而成的立体的体积．
解如图5－5所示，选取x为积分变量，得上半圆周的方程为
(0,b)y2?b?a2?x2，
下半圆周的方程为
图5－5
ox
y1?b?a2?x2．
则体积元素为
2??y12)dx=4?ba2?x2dx．于是所求旋转体的体积为 dV=(?y2aaV=4?b??aa?xdx=8?b?0a?xdx=8?b?2222?a24=2?2a2b．
注 可考虑选取y为积分变量，请读者自行完成．
例46（03研）过坐标原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线y?lnx及x轴围成平面图形D．
（1）求D的面积A；
（2）求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V． 分析先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A，旋转体积可用大的立体体积减去小的立体体积进行
oy11y?xey?lnx123y?lnxx
图5－6
计算，如图5－6所示．
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