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《概率论》计算与证明题
第5章 极限定理
1、?为非负随机变量，若Eea???(a?0)，则对任意x?o，P{??x}?e?axEea?。
2、若h(x)?0，?为随机变量，且Eh(?)??，则关于任何c?0，
P{h(?)?c}?c?1Eh(?)。
4、{?k}各以
平均值？
6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：
（1）P{Xk??2}?k1ss概率取值k和?k，当s为何值时，大数定律可用于随机变量序列?1,2,?n,的算术
1； 2k?(2k?1),P{Xk?0}?1?2?2k； （2）P{Xk??2}?21?1?12（3）P{Xk??2}?k,P{Xk?0}?1?k2。
2k7、若?k具有有限方差，服从同一分布，但各k间，?k和?k?1有相关，而?k,?1(|k?l|?2)是独立的，
证明这时对{?k}大数定律成立。 8、已知随机变量序列?1,?2,对{?k}成立大数定律。 9、对随机变量序列{?i}，若记?n?的方差有界，D?n?c，并且当|i?j|??时，相关系数rij?0，证明
1(?1?n1??n)，an?(E?1?n?E?n)，则{?i}服从大数定律
?(?n?an)2??0。 的充要条件是limE?2?n??1?(??a)nn??10、用斯特灵公式证明：当n??,m??,n?m??，而
2n?2n??1?????~n?m???2?m?0时， n21?men。 n?12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试
求有10个或更多终端在使用的概率。
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111?2??t2?x2x1e2x??e2dt?e2。 13、求证，在x?o时有不等式2x1?xx14、用德莫哇佛——拉普拉斯定理证明：在贝努里试验中，0?p?1，则不管k是如何大的常数，总有
P{|?n?np|?k}?0(n??)。
15之间的概率不小于90%。并用正态逼近计算同一问题。
16、用车贝晓夫不等式及德莫哇佛——拉普拉斯定理估计下面概率：P?里?n是n次贝努里试验中成功总次数，p为每次成功的概率。 17、现有一大批种子，其中良种占
之差小于1%的概率是多少？ 18、种子中良种占
??n??p???并进行比较。这?n?11，今在其中任选6000粒，试问在这些种子中，良种所占的比例与6611，我们有99%的把握断定，在6000粒种子中良种所占的比例与之差是多少？这66时相应的良种数落在哪个范围内？
19、蒲丰试验中掷铜币4040次，出正面2048次，试计算当重复蒲丰试验时，正面出现的频率与概率之
差的偏离程度，不大于蒲丰试验中所发生的偏差的概率。
20、设分布函数列{Fn(x)}弱收敛于连续的分布函数F(x)，试证这收敛对x?R是一致的。 22、试证若正态随机变量序列依概率收敛，则其数学期望及方差出收敛。
1?024、若Xn的概率分布为?1?1???nn??1?，试证相应的分布函数收敛，但矩不收敛。 ?n?25、随机变量序列{?n}具有分布函数{Fn(x)}，且Fn(x)?F(x)，又{?n}依概率收敛于常数c?0。试证：（I）?n??n??n的分布函数收敛于F(x?c)；（II）?n??n的分布函数收敛于F(cx)。 ?n?X?Xn?X???0； 26、试证：（1）Xn???X,Xn???Y?P{X?Y}?1； （2）Xn??PPPP?X?Xn?Xm???0(n,m??)； （3）Xn???X,Xn???Y?Xn?Yn???X?Y； （4）Xn??PPPPP?X,k是常数kXn???kX； （5）Xn??2?X?Xn???X2； （6）Xn??PPPP 2
《概率论》计算与证明题
PPP?a,Yn???b,a,b常数XnYn???ab； （7）Xn???1?1?Xn???1； （8）Xn??PP?a,Yn???b,（9）Xn??PPPPa,b常数b?0?XnYn?1???ab?1；
P?X,Y是随机变量?XnY???XY； （10）Xn???X,Yn???Y?XnYn???XY。 （11）Xn???X。而g是R1上的连续函数，试证g(Xn)???(X)。 27、设Xn???0，证明Xn???0。 28、若{Xn}是单调下降的正随机变量序列，且Xn??29、若X1,X2,是独立随机变量序列，?是整值随机变量，P{??k}?pk，且与{Xi}独立，求
Pa?s?PPPPP??X1??X?的特征函数。
30、若f(t)是非负定函数，试证（1）f(0)是实的，且f(0)?0；（2）f(?t)?f(t)；
（3）|f(t)|?f(0)。
31、用特征函数法直接证明德莫佛——拉普拉斯积分极限定理。 33、若母体?的数学期望E??m,D???2，抽容量为n的子样求其平均值?，为使
P{|??m?|0.?1?}34、若{?n,n?1,2,9，问5%n应取多大值？
11}为相互独立随机变量序列，具有相同分布P{?n?1}?,P{?n?0}?，而
22?n??n?kk?12k，试证?n的分布收敛于[0,1]上的均匀分布。
35、用特征函数法证明二项分布的普阿松定理。
36、用特征函数法证明，普阿松分布当???时，渐近正态分布。 计算Yn的特征函数，并求n??时的极限。
k?2?k38、设Xn独立同分布，P{Xn?2}?2 (k?1,2,)，则大数定律成立。
nX1?X12??Xn及2?Xn39、若{Xi}是相互独立的随机变量序列，均服从N(0,1)，试证Wn?Un?X1?X?21?Xn?X2n渐近正态分布N(0,1)。
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1nP??40、设X1,X2,是独立随机变量序列，均服从[0,1]均匀分布，令Zn???Xi?，试证Zn?c，这
?i?1?里c是常数，并求c。
n41、若{Xi}是独立同分布随机变量序列，EXi?m，若f(x)是一个有界的连续函数，试证
?limE?fn????X1??Xn??????f(m)。
n???n2PiXi???EXi。 42、若{Xi}是独立同分布、具有有限二阶矩的随机变量序列，试证?n(n?1)i?144、设f(x)是[0,1]上连续函数，利用概率论方法证明：必存在多项式序列{Bn(x)}，在[0,1]上一致收
敛于f(x)。
45、设{Xi}是独立随机变量序列，试证Xn???0的充要条件为，对任意
a?s???0有
?P{|Xn?1?n|??}??。
46、试证独立同分布随机变量序列，若存在有限的四阶中心矩，则强大数定律成立。 48、举例说明波雷尔——康特拉引理（i）之逆不成立。
49、设是相互独立且具有方差的随机变量序列，若
DXk1??，则必有limDXk?0。 ?2n??n2kn?1?53、若{?k}是独立随机变量序列，方差有限，记Sn??(?k?E?k),?n?k?1n1Sn。 nj（1）利用柯尔莫哥洛夫不等式证明pm?P??2maxm?n???m?1?n?2?1(2m?)2j?2?D?m
?D?k（2）对上述pm，证明若?2??，则?pm收敛；
m?1k?1k（3）利用上题结果证明对{?n}成立柯尔莫哥洛夫强大数定律。 54、（1）设{ck}为常数列，令sn???c,kk?1?bm?sup?|sm?k?sm|,k?1,2,?b?inf{bm,m?1,2,}，
试证
?ck?1k收敛的充要条件是b?0；
?c1（2）(Kronecker引理)对实数列{ck}，若?k收敛，则
nk?1k?ck?1nk?0。
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56、设X1,X2,为D?X1?57、设X1,X2,是独立随机变量序列，对它成立中心极限定理，则对{Xn}成立大数定律的充要条件
?Xn??o(n2)。
是独立同分布随机变量序列，且
?k?1nXk对每一个n?1,2,n有相同分布，那么，若
EXi?0,DXi?1，则Xi必须是N(0,1)变量。
58、设{Xk}是独立随机变量序列，且Xk服从N(0,2)，试证序列{Xk}：（1）成立中心极限定理；（2）
不满足费勒条件；（3）不满足林德贝格条件，从而说明林德贝格条件并不是中心极限定理成立的必
要条件。
59、若{Xk}是独立随机变量序列，Xi服从[?1,1]均匀分布，对k?2,3,对{Xk}成立中心极限定理，但不满足费勒条件。
60、在普阿松试验中，第i次试验时事件A出现的概率为pi，不出现的概率为qi，各次试验是独立的，
n??v?p?n?i?(vn?Evn)Pi?1??成
以vn记前n次试验中事件A出现的次数，试证：（1）（2）对???0；
nn?piqii?1??k,Xk服从N(0,2k?1)，证明
立中心极限定理的充要条件是
?pqi?1ii???。
61、设{Xk}独立，Xk服从[?k,k]均匀分布，问对{Xk}能否用中心极限定理？ 62、试问对下列独立随机变量序列，李雅普诺夫定理是否成立？
??k（1）Xk:?1???2??kak???1?； （2）Xk:?1???32??n0ka??11?,?33?a?0。
65、 求证：当n??时，e
?k?0nnk1?。 k!2解答
1.证：对任意x?0，P{??x}?y?x?dF(y)??1eaxy?x?eaxdF(y)?1eaxy?x?eaydF(y)
1?axe
5
?0eaydF(y)?e?axEea?