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全国卷历年高考立体几何真题归类分析2019.7（含答案）

类型一：直建系——条件中已经有线面垂直条件，该直线可以作为z轴或与z轴平行，底面垂直关系直接给出或容易得出（如等腰三角形的三线合一）。这类题入手比较容易，第（Ⅰ）小问的证明就可以用向量法，第（Ⅱ）小问往往有未知量，如平行坐标轴的某边长未知，线上动点或存在性等问题，以增加难度。该类问题的突破点是通过条件建立方程求解，对于线上动点问题，主意共线向量基本定理的应用，只设一个未知数，而不是直接设动点坐标。

1.（2014年全国Ⅱ卷）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC；

(Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.

2.（2015年全国Ⅰ卷）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

(Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC；(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

3.（2015年全国Ⅱ卷）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；(Ⅱ)求直线AF与平面α所成角的正弦值.

1

4.（2016年全国Ⅲ卷）如图，四棱锥P?ABC中，PA?底面面ABCD，AD∥BC，

AB?AD?AC?3，PA?BC?4，M为线段AD上一点，AM?2MD，N为PC的中点．

（I）证明MNP平面PAB；（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

5.（2017全国Ⅱ卷）如图所示，在四棱锥P?ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面

1AD，?BAD??ABC?90o， E是PD的中点. 2（1）求证：直线CE//平面PAB；

ABCD，AB?BC?（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成的锐角为45o，求二面角M?AB?D的余弦值.

P

MABCED

6.（2019年全国Ⅱ卷17题）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.

2

7.AA1=4，AB=2，∠BAD=60°（2019年全国Ⅰ卷18题）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

类型二：证建系（1）——条件中已经给出线面垂直条件，该直线可以作为z轴或与z轴平行，但底面垂直关系需要证明才可以建系（如勾股定理逆定理等证明同一平面内两条直线垂直的定理）。这类题，第（Ⅰ）小问的证明用几何法证明，其证明过程中的结论通常是第（Ⅱ）问证明需要的条件。第（Ⅱ）小问开始首先要证明底面上两条直线垂直，然后才能建立空间直角坐标系求解。

1.（2011年全国卷）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.

(Ⅰ)证明：PA⊥BD；

(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.

2.（2012年全国卷）如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC?1AA1，D是棱AA1的中点，2DC1?BD.

（Ⅰ）证明：DC1?BC；

（Ⅱ）求二面角A1?BD?C1的大小.

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