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2015暑假班数学—预备上

第三讲 分解素因数

素数与合数

一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。 1既不是素数，也不是合数。

问题：20以内的正整数中，哪些是素数？ 数学史探秘，追寻素数的足迹

从人们定义出素数这个概念开始，寻找素数一直是数学界一个永恒不灭的焦点和难题。无数个数学家企图寻找出素数出现的规律，欧拉、费马、梅森等知名数学家都给出过相应的公式，但这些公式不是被证明是错误的，就是还无法被完全证明。因为当一个数很大时，要证明它是否是素数会变得极为困难，因此虽然理论上素数有无限多个，但大多数情况下，素数的发现凭借的都是一定的机缘巧合。

2的57885161次方减1是至今为止发现的最大的素数，它有17425170位，如果用普通字号将它连续打印下来，它的长度可超过65公里！

素数螺旋：1963年的某一天，美籍波兰数学家斯塔尼斯拉夫·乌拉姆参加了一场很无聊的学术会议，会议期间他在一张草稿纸上用整数画了一幅螺旋图，然后他把其中的质数圈了出来。他感觉这种排列方式并不是随机的。

会议结束之后，他用黑点代表质数，白点代表非质数，构造出了到数字4万的螺旋图，图中的斜纹模式很清晰地被看得出来：

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例1.判断这段话中出现的数时素数还是合数

在伦敦举行的奥运会中共有205个国家及地区参赛。共设26个大项，302个小项。中国代表团共获得38枚金牌，27枚银牌，23枚铜牌。而且在这次奥运会中的奖牌是艺术家大卫沃特金斯设计的，奖牌直径为85毫米，重量高达400克。

例2.小红家的电话号码是多少？

她家电话号码左起第1位数是最小的质数 ，第2和5位数是10以内3的最大倍数，第3，4位是最小的合数，第6位是10以内最大的质数。最后一位是10以内最大的合数。

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分解素因数

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数只针对合数。

注意点：1.被分解的合数写在等号左边，不要写成乘法的形式

2.分解出来的因数中不能出现合数 3.不要把1作为因数写进去

短除号分解素因数：

例3.把24和28分解素因数，然后找出24和28的所有因数

例4.100以内的所有数中哪些数时3个不同素数的积？

最大公因数：几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

互素：公因数只有1的两个数，叫做互素数。

几个结论：1）如果两个数互素，则它们的最大公约数是1。 2）两个数中，如果较小的数时较大的数的因数，那么较小的数就是这两个数的最大公因数。

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用短除法法求最大公因数（其本质就是分解素因数法）

得出12和20的最大公因数为：2×2=4

例5.求60,45,10的最大公因数

相关应用题：关于求最大公因数的应用题，一般不会直接指明1求最大公因数，需要经过审题后分析得出。

例6.有两根铁丝，第一根长15厘米，第二根长18厘米，要把它们截成同样长的小段，而且不能有剩余，那么每小段最长几厘米？一共可以截成几段？

最小公倍数：几个数共有的倍数叫做这几个数的最小公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

几个结论：1）如果两个数互素，它们的成绩就是它们的最小公倍数。 2）两个数中，如果较大的数是较小的数的倍数，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。

用短除法法求最小公倍数（其本质就是分解素因数法）

得出12、30、50的最小公倍数为：2×3×5×2×1×5=300

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