浙江专用2020版高考数学大一轮复习第四章导数及其应用第3节导数与函数的极值最值习题含解析 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 14:43:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第3节 导数与函数的极值、最值

考试要求 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).

知 识 梳 理

1.函数的极值与导数 (1)判断f(0)是极值的方法

一般地,当函数f()在点0处连续且f′(0)=0,

①如果在0附近的左侧f′()>0,右侧f′()<0,那么f(0)是极大值; ②如果在0附近的左侧f′()≤0,右侧f′()≥0,那么f(0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′();

②求方程f′()=0的根;

③检查f′()在方程f′()=0的根的左右两侧的符号.如果左正右负,那么f()在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f()在这个根处取得极小值. 2.函数的最值与导数

(1)函数f()在[a,b]上有最值的条件

如果在区间[a,b]上函数y=f()的图象是连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)设函数f()在[a,b]上连续且在(a,b)内可导,求f()在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:

①求f()在(a,b)内的极值;

②将f()的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. [常用结论与易错提醒]

1.若函数f()的图象连续不断,则f()在[a,b]内一定有最值.

2.若函数f()在[a,b]内是单调函数,则f()一定在区间端点处取得最值.

3.若函数f()在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点. 4.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯,可使问题直观且有条理,减少失分的可能.

5.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论.

基 础 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.( ) (2)函数的极大值不一定比极小值大.( )

(3)对可导函数f(),f′(0)=0是0为极值点的充要条件.( )

(4)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.( )

解析 (1)函数在某区间上或定义域内的极大值不一定唯一;(3)0为f()的极值点的充要条件是f′(0)=0,且0两侧导数符号异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√

2.(选修2-2P32A4改编)如图是f()的导函数f′()的图象,则f()的极小值点的个数为( )

A.1 C.3

B.2 D.4

解析 由题意知在=-1处f′(-1)=0,且其左右两侧导数符号为左负右正. 答案 A

3.函数f()=-3+3+1有( ) A.极小值-1,极大值1 C.极小值-2,极大值2

B.极小值-2,极大值3 D.极小值-1,极大值3

解析 因为f()=-3+3+1,故有y′=-32+3,令y′=-32+3=0,解得=±1, 于是,当变化时,f′(),f()的变化情况如下表:

f′() f() (-∞,-1) - -1 0 极小值 (-1,1) + 1 0 极大值 (1,+∞) - 所以f()的极小值为f(-1)=-1,f()的极大值为f(1)=3. 答案 D

4.函数f()=ln -a在=1处有极值,则常数a=________.

1

解析 ∵f′()=-a,∴f′(1)=1-a=0,∴a=1,经检验符合题意.

x答案 1

3

5.已知函数f()=2+(a+4)-2ln 在区间(1,2)上存在最值,则实数a的取值范围是________.

223x2+(a+4)x-2

解析 ∵f′()=3+(a+4)-=,故可将题意等价的转化为f′(1)·f′

xx(2)<0,即(a+5)(a+9)<0,解得-9

6.已知y=f()在点(1,f(1))处的切线方程为y=-1,且f′()=ln +1,则函数f()=________,函数f()的最小值为________.

?1?解析 由f′()=ln +1得f()=ln +c,又f(1)=0,则c=0,所以f()=ln .又∈?0,?时,

?e?

f′()<0,f()单调递减,∈?,+∞?时,f′()>0,f()单调递增,则f()min=f??=-. ee1

答案 ln -

e

考点一 用导数解决函数的极值问题 【例1】 求下列函数的极值: (1)f()=2-2-4ln ;

3

(2)f()=a-3+1-(a∈R且a≠0).

3

2

?1?

??

?1???

1e

a解 (1)f()的定义域为(0,+∞),

f′()=2-2-=x42(x-2)(x+1)

x令f′()=0得=2或-1(舍).

随着的变化,f′()与f()的变化情况如下表:

f′() f() (0,2) - 2 0 极小值 (2,+∞) + ∴f()有极小值f(2)=-4ln 2,无极大值. ?2?

(2)由题设知a≠0,f′()=3a-6=3a?x-?.

?a?

2

2

令f′()=0得=0或. a当a>0时,随着的变化,f′()与f()的变化情况如下表:

f′() f() (-∞,0) + 0 0 极大值 ?2??0,a? ??- 2a ?2??a,+∞? ??+ 0 极小值 3∴f()极大值=f(0)=1-,

a43?2?

f()极小值=f??=-2-+1.

aa?a?

当a<0时,随着的变化,f′()与f()的变化情况如下表:

f′() f() 2???-∞,a? ??- 2a ?2??a,0? ??+ 0 0 极大值 (0,+∞) - 0 极小值 3∴f()极大值=f(0)=1-,

af()极小值=f??=-2-+1.

aa?a?

3

综上,f()极大值=f(0)=1-,

?2?

43

a43?2?

f()极小值=f??=-2-+1.

aa?a?

规律方法 函数极值的两类热点问题

(1)求函数f()极值这类问题的一般解题步骤为:

①确定函数的定义域;②求导数f′();③解方程f′()=0,求出函数定义域内的所有根;④列表检验f′()在f′()=0的根0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f()在0处取极大值,如果左负右正,那么f()在0处取极小值.

(2)由函数极值求参数的值或范围.

讨论极值点有无(个数)问题,转化为讨论f′()=0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围,特别注意:极值点处的导数为0,而导数为0的点不一定是极值点,要检验导数为0的点两侧导数是否异号. 【训练1】 (2018·北京卷)设函数f()=[a2-(4a+1)+4a+3]e. (1)若曲线y=f()在点(1,f(1))处的切线与轴平行,求a; (2)若f()在=2处取得极小值,求a的取值范围. 解 (1)因为f()=[a2-(4a+1)+4a+3]e, 所以f′()=[a2-(2a+1)+2]e.

f′(1)=(1-a)e.

由题设知f′(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1. 此时f(1)=3e≠0. 所以a的值为1.

(2)由(1)得f′()=[a2-(2a+1)+2]e=(a-1)(-2)e. 1?1?

若a>,则当∈?,2?时,f′()<0;

2?a?当∈(2,+∞)时,f′()>0. 所以f()在=2处取得极小值.

11

若a≤,则当∈(0,2)时,-2<0,a-1≤-1<0,

22所以f′()>0.

所以2不是f()的极小值点.

?1?综上可知,a的取值范围是?,+∞?.

?2?

考点二 用导数解决函数的最值问题 【例2】 (2019·嵊州适考)已知函数f()=(1)求函数f()的导函数f′(); (2)求f()在(0,1]上的取值范围. 解 (1)因为(2x+1)′=

1

,(ln )′=,

x2x+11

x+xln x-1

2x+1

.