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2019年高中数学单元测试卷

导数及其应用

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________

一、选择题

1．已知函数f(x)??x?3x?9x?a（a为常数），在区间[?2,2]上有最大值20，那么此函数在区间[?2,2]上的最小值为（ ）

A． ?37 B． ?7 C． ?5 D． ?11 答案 B

2．f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf?(x)?f(x)?0,对任意正数a、b,若a＜b，则必有 A．af(b) ≤bf(a) C．af(a) ≤f(b)

二、填空题

3．直线y?4x?b是曲线y?x?1的一条切线，则实数b的值为___▲________ 4． 已知函数y?f(x)在定义域[?4,6]内可导，其图象如图，记y?f(x)的导函数为

432

B．bf(a) ≤af(b) D．bf(b) ≤f(a)

411y?f'(x)，则不等式f'(x)?0的解集为_____ [?4,?][1,] ___. 33

5．已知函数f?x?的导函数为f??x?，且满足f?x??3x2?2xf??2?，则f??5?? ．

26．若曲线y?ax?lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a?____________.（2013年高

考广东卷（文））

1

7．函数f (x)＝2x－sinx在区间[0，π]上的最小值是 ．

8．已知a，b为正实数，函数f(x)?ax?bx?2在?0,1?上的最大值为4，则f(x)在

3x??1,0?上的最小值为 .

9．过点P(?1， 0)作曲线C：y?ex的切线，切点为T1，设T1在x轴上的投影是点H1，过点H1再作曲线C的切线，切点为T2，设T2在x轴上的投影是点H2，…，依次下去，得到第

n?1(n?N)个切点Tn?1．则点Tn?1的坐标为 ▲ ．

10．函数f(x)?()212x2?x?3的单调减区间为 (,??) ．

1211．已知2≤

??kx?1?dx≤4，则实数k的取值范围为 ．

13212．已知函数f(x)?x?ax?(a?6)x?1有三个单调区间，则实数a的取值范围是______________

13．已知曲线S:y=3x－x及点P（2，2），则过点P可向S引切线的条数为 3 . [提示与解答]：设切点为Q(m,n),则在点Q处的切线方程是 y?n?(3m?m)(x?m)

23

?n?3m?m332nm?3m?2?0, 由题设?消去得2?2?n?(3?3m)(2?m)即 (m?1)(m?2m?2)?0,

解之得 m?1或m?1?3或m?1?3 因此切线有3条。

14．由曲线y?x?6x?13与直线y?x?3所围成的封闭区域的面积为 .

三、解答题

15．已知函数f?x???mx?n?e?x22（m,n?R,e是自然对数的底）

（1）若函数f?x?在点?1,f?1??处的切线方程为x?ey?3?0，试确定函数f?x?的单调区间；

（2）① 当n??1，m?R时，若对于任意x??,2?，都有f?x?≥x恒成立，求实数

2?1???m的最小值；

② 当m?n?1时，设函数g?x??xf?x??tf??x??e?x?t?R?，是否存在实数

a,b,c??0,1?，使得g?a??g?b?＜g?c?？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理

由。

16．已知关于x的函数f(x)＝

1x3＋bx2＋cx＋bc,其导函数为f+(x).令g(x)＝∣f+(x) ∣, 34，试确定b、c的值： 3记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M. (Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-

（Ⅱ）若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2: (Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。

本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理 论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分） （I）解析

f'(x)??x2?2bx?c，由f(x)在x?1处有极值?4 3?f'(1)??1?2b?c?0?可得?14

f(1)???b?c?bc???33?解得??b?1?b??1 ,或??c??1?c?322若b?1,c??1，则f'(x)??x?2x?1??(x?1)?0，此时f(x)没有极值； 若b??1,c?3，则f'(x)??x?2x?3??(x?1)(x?1) 当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：

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