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华东师范大学2019数学分析

一、（30分）计算题。

x2x21、求lim(cosx?)x?022、若y?e?ln21x?xsin(arctanx)),求y'.

xe?x3、求?dx.2(1?x)4、求幂级数

?nxn?1?n的和函数f(x).

L为过O(0,0)和A(5、

?2,0)的曲线y?asinx(a?0),求?(x?y3)dx?(2?y)dy.L

S6、求曲面积分

??(2x?z)dydz?zdxdy,其中z?x2?y2,(0?z?1),取上侧.

二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）

1、若{xn,n?1,2,?,}是互不相等的非无穷大数列，则{xn}至少存在一个聚点

x0?(??,??).

2、若f(x)在(a,b)上连续有界，则f(x)在(a,b)上一致连续.

11nii?13、若f(x),g(x)在[0,1]上可积，则lim?f()g()??f(x)g(x)dx.

0n??nnni?1

收敛，则

4、若

?an?1?n?an?1?2n收敛.

5、若在R上定义的函数f(x,y)存在偏导数fx(x,y),fy(x,y) 且fx(x,y),fy(x,y)在(0,0)上连续，则f(x,y)在(0,0)上可微.6、f(x,y)在R22

上连续,Dr(x0,y0)?{(x,y)|(x?x0)2?(y?y0)2?r2} 若

?(x0,y0),?r?0,??f(x,y)dxdy?0, 则f(x,y)?0,(x,y)?R2.Drx??

三、（15分）函数f(x)在(??,??).上连续，且limf(x)?A, 求证：f(x)在(??,??).上

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有最大值或最小值。

四、（15分）求证不等式:2x?1?x2,x?[0,1].五、设fn(x),

n?1,2,?在[a,b]上连续,且fn(x)在[a,b]上一致收敛于f(x).若

?x?[a,b],f(x)?0.求证:?N,??0,使?x?[a,b],n?N,fn(x)??.六、（15分）设{an}满足（1）0?ak?100an,n?k?1,k?2,?;（2）级数

?an?1?n收敛.

求证:limnan?0.

n??

七、（15分）若函数f(x)在[1,??)上一致连续，求证：

3f(x)在[1,??)上有界.x八、（15分）设P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在R有连续偏导数，而且对以任意点

(x0,y0,z0)为中心，以任意正数rSr:(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?r2,z?z0,恒有

为半径的上半球面

??求证: ?(x,y,z),R(x,y,z)?0,Px(x,y,z)?Qy( x,y,z)?0.SrP(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy?0.

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