内容发布更新时间 : 2024/9/21 14:35:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2017年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）

一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.

1.在等比数列{an}中，a2?2，a3?33，则a1?a2011的值为 .

a7?a20172.设复数z满足z?9?10z?22i，则|z|的值为 .

3.设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)?x是奇函数，f(x)?2是偶函数，则f(1)的值为 . 4.在?ABC中，若sinA?2sinC，且三条边a,b,c成等比数列，则cosA的值为 .

5.在正四面体ABCD中，E,F分别在棱AB,AC上，满足BE?3，EF?4，且EF与平面BCD平行，则?DEF的面积为 .

6.在平面直角坐标系xOy中，点集K?{(x,y)|x,y??1,0,1}，在K中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .

7.设a为非零实数，在平面直角坐标系xOy中，二次曲线x?ay?a?0的焦距为4，则a的值为 .

8.若正整数a,b,c满足2017?10a?100b?1000c，则数组(a,b,c)的个数为 .

2222x二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

9.设不等式|2?a|?|5?2|对所有x?[1,2]成立，求实数a的取值范围.

xx210.设数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn?an?1an?2?an，n?1,2,L.

（1）证明：数列{bn}也是等差数列；

（2）设数列{an}、{bn}的公差均是d?0，并且存在正整数s,t，使得as?bt是整数，求|a1|的最小值.

22211.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1:y?4x，曲线C2:(x?4)?y?8，经过C1上一点P作一条倾

斜角为45的直线l，与C2交于两个不同的点Q,R，求|PQ|?|PR|的取值范围.

o

2017年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）

一、（本题满分40分）

设实数a,b,c满足a?b?c?0，令d?max{a,b,c}，证明：(1?a)(1?b)(1?c)?1?d2

二、（本题满分40分）

给定正整数m，证明：存在正整数k，使得可将正整数集N?分拆为k个互不相交的子集A1,A2,L,Ak，每个子集Ai中均不存在4个数a,b,c,d（可以相同），满足ab?cd?m.

三、（本题满分50分）

如图，点D是锐角?ABC的外接圆?上弧BC的中点，直线DA与圆?过点B,C的切线分别相交于点

P,Q，BQ与AC的交点为X，CP与AB的交点为Y，BQ与CP的交点为T，求证：AT平分线段XY.

四、（本题满分50分）

设a1,a2,L,a20?{1,2,L,5}，b1,b2,L,b20?{1,2,L,10}，集合

X?{(i,j)1?i?j?20,(ai?aj)(bi?bj)?0}，求X的元素个数的最大值.

一试试卷答案

1.答案：

8 9a?a2011a?a18a333?612011?6?. 解：数列{an}的公比为q?，故1?a7?a2017q(a1?a2011)q9a222.答案：5 解：设z?a?bi,a,b?R，由条件得(a?9)?bi?10a?(?10b?22)i，比较两边实虚部可得

?a?9?10a，解得：a?1,b?2，故z?1?2i，进而|z|?5. ??b??10b?223.答案：?7 42解：由条件知，f(1)?1??(f(?1)?(?1))??f(?1)?1，f(1)?2?f(?1)?两式相加消去f(?1)，可知：2f(1)?3??1， 217，即f(1)??. 244.答案：?2 4解：由正弦定理知，

asinA??2，又b2?ac，于是a:b:c?2:2:1，从而由余弦定理得：csinCb2?c2?a2(2)2?12?222. cosA????2bc42?2?15.答案：233 解：由条件知，EF平行于BC，因为正四面体ABCD的各个面是全等的正三角形，故AE?AF?EF?4，

AD?AB?AE?BE?7.

由余弦定理得，DE?同理有DF?37. 作等腰?DEF底边EF上的高DH，则EH?于是S?DEF?AD2?AE2?2AD?AE?cos60o?49?16?28?37，

1EF?2，故DH?DE2?EH2?33， 21EFgDH?233. 2