内容发布更新时间 : 2024/5/8 5:21:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

圆锥曲线中的最值和范围问题（一）

★★★高考在考什么 【考题回放】

x2y21．已知双曲线2?2?1(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交

ab点，则此双曲线离心率的取值范围是(C )

A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,??) D.(2,+∞)

x2y2??1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的2． P是双曲线

916最大值为（ D ）

A. 6 B.7 C.8 D.9

23．抛物线y=-x上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )

A．

478 B． C． D．3 355x2y24．已知双曲线2?2?1,(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,则此

ab双曲线的离心率e的最大值为：（B）

(A)

457 (B) (C)2 (D) 333

222

5．已知抛物线y=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y1+y2的最小值是 32 .

6．对于抛物线y=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是( B ) （A）（－∞，0） （B）（－∞，2] （C）［0，2］

★★★高考要考什么

【热点透析】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；

（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；

（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；

（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：

① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；

② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式??0。 ★★★突破重难点

【例1】已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|?|PN|?22.记动点P的轨迹为W. （Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA?OB的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，

1 / 6

2

（D）（0，2）

x2y2所求方程为：－＝1 （x?0）

22（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，

AOB?此时A（x0，x0－2），B（x0，－x0－2），O22＝2

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，

x2y21中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0 代入双曲线方程－＝22依题意可知方程1?有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则

????4k2b2?4(1?k2)?(?b2?2)?0?2kb?解得|k|?1， x?x??0?1221?k??b2?2?0?x1x2?2k?1?又OA?OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）

2k2＋2422

＝2＋2?2 ＝（1＋k）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b＝2k－1k－1综上可知OA?OB的最小值为2

x2y25??1上的动点，F是右焦点，当AB?BF取得最小值时，试求【例2】给定点A(-2,2)，已知B是椭圆

25163B点的坐标。

解：因为椭圆的e?3511，所以AB?BF?AB?BF，而BF为动点B到左准线的距离。故本题可化为，

e53e在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂

点为M，由椭圆定义

|BF||BF|5?e?|BN|??|BF| |BN|e3于是 AB?5BF?|AB|?|BN|?|AN|?AM为定值 353,2) 2其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为(?所以，当AB?

535,2) BF取得最小值时，B点坐标为(?232

2

x2?y2?1上移动,试求|PQ|的最大值。 【例3】已知P点在圆x+(y-2)=1上移动，Q点在椭圆9解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大

222

值.设Q(x，y)，则|O1Q|= x+(y-4) ①

22

因Q在椭圆上,则x=9(1-y) ②

1??将②代入①得|O1Q|= 9(1-y)+(y-4) ??8?y???27

2??1

因为Q在椭圆上移动，所以-1?y?1，故当y?时，OQ?33 1max2

此时PQmax?33?1

2

2

2

2

【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；

2 / 6

2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是．．．．．．函数自变量取值范围的考察不能被忽视。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．

【例4】已知椭圆的一个焦点为F1(0,-22)，对应的准线方程为y??数列。

（1）求椭圆方程；

（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x??斜角的范围；若不存在，请说明理由。

9224，且离心率e满足：,e,成等差4331平分，若存在，求出l的倾2a2922?c??22? ∴a＝3，c＝22，b＝1， c4492122 又F1(0，－22)，对应的准线方程为y?? ∴椭圆中心在原点，所求方程为x?y?1

491 (2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x??平分

222（1）解：依题意e ?，3∴直线l的斜率存在。 设直线l：y＝kx＋m ?y?kx?m?222由?2y2消去y，整理得 (k＋9)x＋2kmx＋m－9＝0 ?1?x?9?∵l与椭圆交于不同的两点M、N，∴Δ＝4km－4(k＋9)(m－9)＞0 即m－k－9＜0

22

2

2

2

2

①

k2?9x1?x2?km1设 M(x1,y1),N(x2,y2) ? ② ?2?? ?m?2k2k?92(k2?9)2?(k2?9)?0，∴k＞3或k＜－3 把②代入①式中得24k???2?∴直线l倾斜角??(，)?(，)

3223 圆锥曲线中的最值和范围问题（二）

【例5】长度为a（a?0）的线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，点P在线段AB上，且AP??PB（?为常数且??0）．

（1）求点P的轨迹方程C，并说明轨迹类型； （2）当?=2时，已知直线l1与原点O的距离为

a，且直线l1与轨迹C有公共点，求直线l1的斜率k的取值范围． 2答案：(1)设P(x,y)、A(x0,0)、B(0,y0)，则

?x0?(1??)x?x?x0???x?222AP??PB????1??，由此及|AB|?a?x0?y0?a，得

y?y??(y0?y)?y0???y2?a???1????22?(1??)x?????y??a，即x??2??1??? （*）

???????222①当0???1时，方程（*）的轨迹是焦点为(?1??2a,0)，长轴长为a的椭圆． 1??1???1??2?a)，长轴长为a的椭圆． 1??1?? 3 / 6

②当??1时，方程（*）的轨迹是焦点为(0,?