内容发布更新时间 : 2024/4/29 0:01:44星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
中考数学二次函数(大题培优 易错 难题)附答案
一、二次函数
1．如图，已知抛物线y?ax2?bx?c(a?0)的对称轴为直线x??1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1,0)，C(0,3).
（1）若直线y?mx?n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x??1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x??1上的一个动点，求使?BPC为直角三角形的点P的坐标.
2【答案】（1）抛物线的解析式为y??x?2x?3，直线的解析式为y=x+3.（2）
M(?1,2)；（3）P的坐标为(?1,?2)或(?1,4)或(?1,3?17)或(?1,3?17).
22【解析】
分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）
2
+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求
出点P的坐标．
?b??2a??1?a??1??1详解：（）依题意得：?a?b?c?0，解得：?b??2，
?c?3?c?3???∴抛物线的解析式为y??x2?2x?3. ∵对称轴为x??1，且抛物线经过A?1,0?， ∴把B??3,0?、C?0,3?分别代入直线y?mx?n，
??3m?n?0?m?1得?，解之得：?，
n?3n?3??∴直线y?mx?n的解析式为y?x?3.
（2）直线BC与对称轴x??1的交点为M，则此时MA?MC的值最小，把x??1代入直线y?x?3得y?2，
∴M??1,2?.即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为??1,2?. （注：本题只求M坐标没说要求证明为何此时MA?MC的值最小，所以答案未证明
MA?MC的值最小的原因）.
（3）设P??1,t?，又B??3,0?，C?0,3?，
∴BC2?18，PB2???1?3??t2?4?t2，PC2???1???t?3??t2?6t?10， ①若点B为直角顶点，则BC2?PB2?PC2，即：18?4?t2?t2?6t?10解得：
222t??2，
②若点C为直角顶点，则BC2?PC2?PB2，即：18?t2?6t?10?4?t2解得：
t?4，
③若点P为直角顶点，则PB2?PC2?BC2，即：4?t2?t2?6t?10?18解得：
t1?3?173?17. ，t2?22?3?17??3?17?综上所述P的坐标为??1,?2?或??1,4?或???1,2??或???1,2??.
????点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
2．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=点的坐标为 ：P1（P4（
575时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P
823-51+55+51+53+51?5，），P2（，），P3（，），2222225?51?5，）. 22
【解析】
分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；
（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值； （3）存在四种情况：
如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，
由对称性得：D（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3）， 把A（0，3）代入得：3=3a，