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2012年1月长沙理工大学高等教育自学考试线性代数试题

课程代码：02198

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．若矩阵A满足A2-5A=E，则矩阵（A-5E）-1=（ ） A.A-5E C.A

B.A+5E D.-A

2.设矩阵A是2阶方阵,且det(A)=3,则det(5A)=( ) A.3 C.25

B.15 D.75

3.设矩阵A,B,X为同阶方阵,且A,B可逆,若A(X-E)B=B,则矩阵X=( ) A.E+A-1 C.E+B-1

B.E+A D.E+B

4.设矩阵A1,A2均为可逆方阵,则以下结论正确的是( )

5.设α1,α2,…,αk是n维列向量,则α1,α2,…αk线性无关的充分必要条件是( ) A.向量组α1,α2,…,αk中任意两个向量线性无关

B.存在一组不全为0的数l1,l2,…,lk,使得l1α1+l2α2+…+lkαk≠0 C.向量组α1,α2,…,αk中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D. 向量组α1,α2,…,αk中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

6.设α=(a1,a2,a3),β=(b1,b2,b3),其中a1,a2,a3不全为0,且b1,b2,b3不全为0,则αTβ的秩为( ) A.0 C.2

B.1 D.3

?1??,则与矩阵A相似的矩阵是( ) 7.设矩阵A=?? 2??? -1??

?1 -1 ?? A.?-1 2???? 3????2 ?? C. ? 1???? 1 ???0 1 ?? B. ?1 0???? 2???1 ??? D. ? -2??? 1 ??118.设三阶方阵A的特征值分别为,,3,则A-1的特征值为( )

241111A.2,4, B. ,,

324311C. ,,3 D.2,4,3

249.二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2+x3)2的矩阵是( ) ?1 2 2?? A.?2 1 2????2 2 1???1 1 1?? C. ?1 1 1????1 1 1???1 2 2?? B. ?0 1 2????0 0 1???2 2 2?? D. ?2 2 2????2 2 2??10.以下关于正定矩阵叙述正确的是( ) A.正定矩阵的特征值一定大于零 B. 正定矩阵的行列式一定小于零 C. 正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 D. 正定矩阵的差一定是正定矩阵

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11．设det(A)=-1, det(B)=2,且A，B为同阶方阵，则det(（AB）3)=_________. 12. 设方阵A满足Ak=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A-1=_________. 13. 设方阵A的行列式为5，P为可逆矩阵，则det（P-1AP）=_________.

14. 设α1=（1，0，1），α2=（1，1，1），α3=（0，-1，-1）则-11α1+14α2+9α3=_________. 15. 实数向量空间V=??x,y,z?3x?2y?5z?0?的维数是_________. ?1 2 -2??,B为3阶非零矩阵,且AB=0,则t= _________. 4 t 316.设3阶矩阵A=?????3 -1 1??

17.设α是齐次线性方程组Ax=0的解,而β是非齐次线性方程组Ax=b的解,则A(3α+2β)=_________. 18.设方阵A有一个特征值为-8,则det(8E+A) _________.

19. 设P为n阶正交矩阵,x是n维单位长的列向量,则Px=_________.

2220. 二次型f(x1,x2,x3)=x12?5x2?6x3?4x1x2?2x1x3?2x2x3的正惯性指数为_________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 1 1 -1 2-1 -1 -4 121．计算行列式.

2 4 -6 11 2 4 2 ?0 1 1??的逆矩阵. 22．求矩阵A=?1 0 1????1 1 0??23．设向量组α1=(3,1,2,0), α2=(0,7,1,3), α3=(-1,2,0,1), α4=(6,9,4,3),求其一个最大无关组，并将其余向量通过该最大无关组表示出来.

?x1?x2?2x3?x4??2x1?x2?x3?x424．求齐次线性方程组??x1?x2 ?3x4?? x2?x3?7x4?0?0?0?0的基础解系及其结构解.

??1 4 3??，求矩阵A的特征值和特征向量. -2 5 325．设三阶矩阵A=?????2 -4 -2??22?4x3?4x1x2?4x1x3,写出该二次型对应的矩阵，并判断该二次型是否正定。 26．令f(x1,x2,x3)=?5x12?6x2四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．设方阵A满足Ak=0，对某个正整数k成立.证明：A的特征值一定为0.

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