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高等数学 A Ⅱ (A 卷 ) 2015-6-30

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一 二 三 四

一、填空题(每小题3分，共15分)

1、设|a?|?3，|b?|?5，若a??kb?垂直于a??kb?，则k??35；

2、

3(x,ylimxy?9?)?(0,0)xy?16； 3、交换积分次序：

?1x2110dx?0f(x,y)dy=?0dy?yf(x,y)dx；

4、设?是锥面z?x2?y2被平面z?1所截部分，则??(x2?y2)dS?2?； ?2 f(x) 5、设是周期为2?的周期函数，在(??,?]上的表达式为 2x，设S(x)为f(x)的傅立叶级数的和函数，则S(?)?0。 二、选择题(每小题3分，共15分)

1、通过z轴及点(?3,1,?2)的平面方程为 ( B ) A x?3y?0， B x?3y?0， C 3x?y?0， D 3x?y?0； 2、函数u?xyz在点(5,1,2)处沿点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数为 ( D ) A ?9713， B 9713， C ?9813， D 9813； 3、平面3x?2y?z?6被三坐标面所割出的有限部分的面积为 ( C ) A

14， B 214， C 314， D 414；

4、设L为起点(0,0)和终点(1,1)的抛物线y?x2，则?2L(x?y2)dx?xydy? ( A )

A

815， B ?82215， C 15， D ?15； ?5、级数

????11?3n?n(n?1)??的和S? ( C ) n?1??A 0.5， B 3，1

C 1.5， D 1。

三、计算题(每小题7分，共63分) 题号 得分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 小计 1、求经过点(0,2,4)且与平面x?2z?1和y?3z?2平行的直线方程。 解：由条件可设已知两平面的法向量分别为

n1?(1,0,2)，n2?(0,1,?3)， ……………………1’ 则所求的直线的方向向量

?????s?n1?n2?102?(?2,3,1)， ……………………4’

01?3 从而所求的直线方程为

?i?j?kx?0y?2z?4xy?2????z?4。……………………7’ ，即?231?23

?u?2u2、设u?f(x?y,e)，且f具有二阶连续偏导数，求，。

?x?x?y22xy解：

?u?f1??2x?f2??exyy ………2’ ?x ?2xf1??yexyf2?， ………3’

?2u???(?2y)?f12???exyx?(exy?yexyx)f2??yexyf21???(?2y)?f22???exyx………6’ ?2xf11?x?y???????2(x2?y2)exyf12???xye2xyf22??。 ………7’ ?(1?xy)exyf2??4xyf11

22?dzdz?z?x?y,3、设?2，求，。 22dxdy??x?2y?3z?20,解：对原方程组两边分别关于x求导得

dy?dz?2x?2y,??dxdx ………….………..4’ ?dydz?2x?4y?6z?0,?dxdx?解得

dzxdyx?6xz???，。 ………….………..7’

dx2y?6yzdx1?3z2

4、求二元函数z?f(x,y)?x2(2?y2)?ylny的极值。 解：对原函数两边分别关于x和y求导得

??z2?2x(2?y),??x?① ………………….2’ ?

??z???y?x2?2y?lny?1,解方程组

???z???x?2x(2?y2)?0,??z ???y?2x2y?lny?1?0,得x?0,y?e?1； 对方程组①再分别关于x和y求导得

??2?z??x?2(2?y22),????2z?2x?2y, ??x?y???2z???y2x2?12?y,???2z?A??x2?2(2?e?2)?0,??0,e?1?? ??B??2z??x?y?0,??0,e?1???2z?C???y2?e,?0,e?1?从而AC?B2?0，

? 原函数在(0,e?1)处有极小值，其为f(0,e?1)??e?1。 3

………………….3’ ………………….5’ .6’

………………….7’

…………………