内容发布更新时间 : 2024/12/24 2:05:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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复变函数复习重点
(一)复数的概念
1.复数的概念：z?x?iy，x,y是实数, x?Re?z?,y?Im?z?.i2??1. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1）模：z?x2?y2；
2）幅角：在z?0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg?z?（多值函数）；
主值arg?z?是位于(??,?]中的幅角。
3）arg?z?与arctan之间的关系如下： 当x?0, argz?arctan；
?y?0,argz?arctan?? 当x?0,??y?0,argz?arctan??y??x； y??xyxyx
4）三角表示：z?z?cos??isin??，其中??argz；注：中间一定是“+” 5）指数表示：z?zei?，其中??argz。 (二) 复数的运算
1.加减法：若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则z1?z2??x1?x2??i?y1?y2? 2.乘除法：
1）若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则
z1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2?；
x?iy?i??x?2y?xz1x?iyxy121?11?21y?1??i222z2x2?iy?xi2y?2x?i2y?2x2y??2?21212?yy1x22x1。 22?2x2yzz1?1ei??1??2? z2z22）若z1?z1ei?,z2?z2ei?, 则z1z2?z1z2ei?????；
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3.乘幂与方根
1）若z?z(cos??isin?)?zei?，则zn?z(cosn??isinn?)?zein?。 2）若z?z(cos??isin?)?zei?，则
nnn??2k???2k???z?z?cos?isin?nn??1n(k?0,1,2n?1)（有n个相异的值）
（三）复变函数
1．复变函数：w?f?z?，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平
面上的一个点集G的映射.
2．复初等函数
指数函数：ez?ex?cosy?isiny?，在z平面处处可导，处处解析；且?ez???ez。
注：ez是以2?i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）
对数函数： Lnz?lnz?i(argz?2k?)(k?0,?1,?2)（多值函数）；
主值：lnz?lnz?iargz。（单值函数）
1Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且?lnz???；
z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）
乘幂与幂函数：ab?ebLna(a?0)；zb?ebLnz(z?0)
注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且?zb???bzb?1。
eiz?e?izeiz?e?izsinzcosz,cosz?,tgz?,ctgz?三角函数：sinz? 2i2coszsinzsinz,cosz在z平面内解析，且?sinz???cosz,?cosz????sinz
注：有界性sinz?1,cosz?1不再成立；（与实函数不同）
ez?e?zez?e?z,chz?双曲函数 shz?； 22shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析?shz???chz,?chz???shz。
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（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数
lim1）点可导：f??z0?=?z?0f?z0??z??f?z0?；
?z2）区域可导： f?z?在区域内点点可导。 2．解析函数的概念
1）点解析： f?z?在z0及其z0的邻域内可导，称f?z?在z0点解析； 2）区域解析： f?z?在区域内每一点解析，称f?z?在区域内解析； 3）若f(z)在z0点不解析，称z0为f?z?的奇点；
3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）
仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；
（五）函数可导与解析的充要条件
1．函数可导的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在z?x?iy可导
?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?可微，且在?x,y? 处满足C?D条件：
?u?v?,?x?y?u?v?u?v?? 此时， 有f??z???i。 ?y?x?x?x2．函数解析的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在区域内解析
?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?在D内可微，且满足C?D条件：
?u?v?,?x?y?u?v??； ?y?x此时f??z???u?v?i。 ?x?x注意： 若u?x,y?,v?x,y?在区域D具有一阶连续偏导数，则u?x,y?,v?x,y?在区
域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C?R条件时，函数f(z)?u?iv一定是可导或解析的。