内容发布更新时间 : 2024/11/10 9:08:33星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

浙江师范大学《线性代数》考试试卷（样卷）

考试类别 闭卷 考试时间 120分钟

注意：并非摸拟卷

一、单项选择题。（四个选项中只有一个正确答案。5题共10分） 1、向量组α1、α2、α3，线性无关的充要条件为（ ）

A、α1、α2、α3均不是零向量 B、α1、α2、α3中任意两个向量的分量不成比例

C、α1、α2、α3中任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出 D、α1、α2、α3中一部分向量线性无关 2、设A为n阶矩阵|A|=0，则（ ）

A、 A中有两行（列）的元素对应成比例 B、 A中任意一行（列）向量是其余各行（列）的线性组合 C、 A 中至少有一行元素全为0

D、 A中必有一行（列）向量是其余各行（列）的线性组合

3、若α1、α2、α3、?1、?2都为四维向量且四阶行列式|α1、α2、α3、?1|=m,

|α1、α2、α3、?2|=n。则四阶行列式|α1、α2、α3、（?1+?2）|=( ) A、m-n B、-(m+n) C、m+n D、m-n

4、设A为n阶方矩阵，且|A|=a≠0，而A*为A的伴随矩阵，则|A*|=( )

A、a B、an-1 C、1/a D、an

5、A为m×n矩阵，C为n阶可逆矩阵，r(A)=r,矩阵B=AC的秩为r1，则（ ）

A、r>r1 B、r

6、已知3阶矩阵A的特征值为1、-1、2，则矩阵3A2+2I的特征值为（ ） A、1、-1、2 B、5、1、14 C、1、1、2 D、1、1、12

二、填空题。（10题共20分）

1、4阶范德蒙行列式的值为

2、已知线性方程组AX=b无解，r(A)=2则r(A)=

3、3阶矩阵A的特征值为2、4、6，则|A-3I|=

4、在Rn中，向量α可由α1、α2、…、αn 线性表出，满足 条件，其表示法是唯

一的。

5、设α1=（1、-1、1），α2=（1、2、0），α3=（1、0、R）线性无关，则R=

*

6、4阶方阵A，r(A)=2，则r(A)= 7、n阶矩阵A仅有特征值λ1（单根）和λ2（R重根）且A可对角化，则属于λ2的线性

无关的特征向量有 个。

?100???8、矩阵A=?020?则A-1=

?003???

1

9、设矩阵A4╳3，r(A)=2,已知α1=（1、2、3）T，α2=（2、1、7）T，为线性方程组AX=b

两个解，则AX=b的通解为

?11/2t???31?，A正定，则t满足 条件。 10、设A=?1/2?t12???

三、计算题（6题共48分）

?301???1、已知AB=A+2B，A=?110?，求B。（6分）

?014??? x1+ x2+ x3+ x4+ x5=1

2、 a、b取何值时线性方程组 3x1+2x2+ x3+ x4-3x5=a 有解，在 x2+2x3+2x4+6x5=3 5x1+4x2+3x3+3x4- x5=b 有解的条件下,求一般解（用基础解系表示）。（12分）

3、 3阶矩阵A有特征值1、2、3，对应的特征向量依次为α1=（1、1、1）T，α2=（1、2、

4）T ，α3=（1、3、9）T，又? =（1、1、3）T

i. 将?表示为α1、α2、α3的线性组合； ii. 求A 10 ?。（12分）

2 2 2

4、 f(x1,x2,x3) =x1+x2+5x3 -6x1x2-2x1x3+2x2x3化为规范形，并求出可逆变换矩阵C。（6分） 5、 |A|=2，求| 3A* -2 A-1|的值。（6分）

?111???6、 已知A=?020?，求A的特征值与特征向量,并问A能否对角化。（6分）

?030???四、证明题。（4题共22分）

1、已知X1,X2是齐次线性方程组AX=0的两个线性无关的解，Y为非齐次线性方程组AX=b

的解，求证Y ,Y+X1,Y+X2，线性无关。（6分）

22

2、 设A、B为n阶方阵，B为可逆矩阵，满足A+AB+B=0。求证A和A+B可逆，并求

A-1，（A+B）-1。（5分）

3、已知A、B为n阶矩阵，满足AB=0。求证：r(A)+ r(B) ≤n。（5分）

4、设A为可逆矩阵，λ为A的特征值，求证：λ≠0且1/λ为A-1的特征值。（6分）

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