内容发布更新时间 : 2024/12/25 4:35:09星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
常微分方程模拟试题
一、填空题(每小题3分,本题共15分)
1.一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线.
2.二阶线性齐次微分方程的两个解y1(x),y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是 .
3.方程y???2y??y?0的基本解组是 . 4.一个不可延展解的存在在区间一定是 区间.
dy?1?y2的常数解是 . dx二、单项选择题(每小题3分,本题共15分)
1?dy?x3?y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ) 6.方程. dx 5.方程
(A)上半平面 (B)xoy平面 (C)下半平面 (D)除y轴外的全平面 7. 方程
dy?dxy?1( )奇解.
dy?f(y)解存在且唯一的( )条件. dx (A)有一个 (B)有两个 (C)无 (D)有无数个 8.f(y)连续可微是保证方程
(A)必要 (B)充分 (C)充分必要 (D)必要非充分 9.二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).
(A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间 (C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间
dy?3y3过点(0, 0)有( B ) 10.方程. dx (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 三、计算题(每小题6分,本题共30分) 求下列方程的通解或通积分:
2dy?ylny dxdyyy?1?()2? 12. dxxxdy 13. ?y?xy5
dx22 14.2xydx?(x?y)dy?0
3 15.y?xy??2(y?)
四、计算题(每小题10分,本题共20分)
2 16.求方程y???5y???5x的通解.
11.
17.求下列方程组的通解.
1?dx?y???dtsint ?
?dy??x??dt五、证明题(每小题10分,本题共20分)
18.设f(x)在[0,??)上连续,且limf(x)?0,求证:方程
x??? 1
dy?y?f(x) dx的一切解y(x),均有limy(x)?0.
x??? 19.在方程y???p(x)y??q(x)y?0中,p(x),q(x)在(??,??)上连续,求证:若p(x)恒不为零,则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(??,??)上的严格单调函数.
常微分方程模拟试题参考答案
一、填空题(每小题3分,本题共15分)
1.2 2.线性无关(或:它们的朗斯基行列式不等于零)
3.e,xe 4.开 5.y??1
二、单项选择题(每小题3分,本题共15分) 6.D 7.C 8.B 9.C 10.A 三、计算题(每小题6分,本题共30分)
11.解: y?1为常数解 (1分)
当y?0,y?1时,分离变量取不定积分,得 通积分为
xx?dy??dx?C (3分) ylnylny?Cex (6分)
注:y?1包含在常数解中,当c?0时就是常数解,因此常数解可以不专门列出。
?5 13.解: 方程两端同乘以y,得
?5dy y ?y?4?x (1分)dxdz?4?5dy 令 y?z,则?4y,代入上式,得 ?dxdx1dz ??z?x (3分)
4dx这是一阶线形微分方程,对应一阶线形齐次方程的通解为
z?ce?4x (4分)
利用常数变易法可得到一阶线形微分方程的通解为 z?Ce 因此原方程通解为
?4x?x?1 (5分) 41?Ce?4x?x? (6分)
4?M?N?2x? 14.解: 因为,所以原方程是全微分方程. (2分) ?y?x 取(x0,y0)?(0,0),原方程的通积分为
y?4
?x02xydx??y2dy?C (4分)
0y计算得
x2y?13y?C (6分) 3 15.解: 原方程是克莱洛方程,通解为
2
y?Cx?2C (6分) 四、计算题(每小题10分,本题共20分)
16.解: 对应齐次方程的特征方程为
3?2?5??0, (1分)
特征根为
?1?0,?2?5, (2分)
齐次方程的通解为
y?C1?C2e5x (4分)
因为??0是特征根。所以,设非齐次方程的特解为
y21(x)?x(Ax?Bx?C) 代入原方程,比较系数确定出 A?13,B?15,C?225 原方程的通解为
y?C5x?1121?C2e3x3?5x2?25x 17.解: 齐次方程的特征方程为
??1?1????2?1?0 特征根为
???i 求得特征向量为
??1??i?? 因此齐次方程的通解为 ??x???cost??sint??y??C1??-sint???C2??cost?? 令非齐次方程特解为
??x~?~?y???C?cost??sint?1(t)??-sint???C2(t)??cost?? C??1(t),C2(t)满足
?costsint??C?? ?1(t)??1??sintcost?????C?????sint? 2(t)???0? ?解得
C?cost?1(t)?sint,C2(t)?1 积分,得
C1(t)?lnsint,C2(t)?t 通解为
??x??y???C?cost??sint??costlnsint?tsint?1??-sint???C2??cost????-sintlnsint?tcost? ?? 五、证明题(每小题10分,本题共20分)
3
(6分) (9分) (10分) (1分)
(2分)
(3分) (4分) (5分)
(6分) (8分)
(9分)
10分)
(