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类型2 与图形变换有关的几何综合题

（2018宜昌）在矩形ABCD中，AB?12，P是边AB上一点，把PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点

G，过点B作BE?CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F.

(1)如图1，若点E是AD的中点，求证:?AEB≌?DEC； (2) 如图2，①求证: BP?BF；

②当AD?25，且AE?DE时，求cos?PCB的值； ③当BP?9时，求BE EF的值.

图1 图2 图2备用图 23.(1)证明：在矩形ABCD中，?A??D?90,AB?DC, 如图1，又

AE?DE，

图1

?ABE??DCE,

(2)如图2，

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图2

①在矩形ABCD中，?ABC?90,

?BPC沿PC折叠得到?GPC

??PGC??PBC?90,?BPC??GPCBE?CG ?BE//PG, ??GPF??PFB

??BPF??BFP ?BP?BF

②当AD?25时，

?BEC?90

??AEB??CED?90, ?AEB??ABE?90,

??CED??ABE

又

?A??D?90,

??ABE∽?DEC ?ABDEAE?CD ∴设AE?x，则DE?25?x，

?12x?25?x12， 解得x1?9，x2?16

AE?DE

?AE?9,DE?16, ?CE?20,BE?15,

由折叠得BP?PG，

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?BP?BF?PG, BE//PG, ??ECF∽?GCP ?EFPG?CECG 设BP?BF?PG?y，

?15?y20y?25 ?y?253 则BP?253 在Rt?PBC中，PC?2510BC3,cos?PCB?PC?252510?310103③若BP?9,

解法一：连接GF，（如图3）

?GEF??BAE?90, BF//PG,BF?PG

∴四边形BPGF是平行四边形

BP?BF,

?平行四边形BPGF是菱形 ?BP//GF, ??GFE??ABE, ??GEF∽?EAB ?EFGF?ABBE ?BEEF?ABGF?12?9?108

解法二：如图2，

?FEC??PBC?90,

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?EFC??PFB??BPF, ??EFC∽?BPC ?EFBP?CECB 又

?BEC??A?90,

由AD//BC得?AEB??EBC,

??AEB∽?EBC ?ABCEBE?CB ?AEEFBE?BP ?BEEF?AEBP?12?9?108

解法三：（如图4）过点F作FH?BC，垂足为HS?BPFS?BF四边形PFEGEF?PG?BFBE图4

BFS?BFCEF?BE?BCEFS?? ?BEC12?BC12?9BE?EF12 ?BEEF?12?9?108

（2018邵阳）

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