内容发布更新时间 : 2024/12/25 2:20:34星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
一类数列的求和问题
【摘 要】设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,记αn=bn,文中讨论了数列{αn}的有限项的求和问题;当{bn}满足一定条件时,{αn}的所有项的和的求解问题;设βn=αn2nn,当数列{βn}中的{bn}满足一定条件时,所有项的求和问题等。得到了一些结论,并给出了几个有关的例题。
【关键词】差比数列;通项;求和
在数学的计算当中,有时我们会遇到这样一类数列的求和问题,这种数列即非等差又非等比数列,但它的每一项可以分解为两个数(项)的乘积,这两项分别构成等差数列和等比数列。对这种数列我们先给出如下定义。
定义:设{αn}为等差数列,{bn}为等比数列,记αn= 。称数列{αn}为差比数列或一次差比数列。设βn= ,称数列{βn}为k次差比数列。
例如数列3,2q,q2,—q4,—2q5,—3q6 …为一次差比数列;而数列9,4 q,q2,q4,4q5,9q6,…为二次差比数列。
据等差数列通项公式:αn=α1+(n-1)d,等比数列通项:bn=b1qn-1,从而差比列{αn}的通项为αn=[α1+(n-1)d] b1qn-1,为便于书写我们令α1=α,b1=b。
1 求差比数列前n项的和
我们先来求差比数列的有限项的和,这时假定q=0,1设
Sn= = =
令 (1)
(1)× 得: (2)
(1)-(2)得: ∴
于是,即可得出,
(结论1)
利用等差、等比数列的通项公式将上公式可变为:
(结论1`)
例1.设某研究项目计划投入研究人员按等差数列递增,首年人数3个,每年增加2人。假定人均科研经费按几何级数增长,首年人均经费1000元,公比q=1.2,求做五年研究共需要经费多少元?
解:此题中人数成等差数列{αn}, 首项 ;人均经费成等比数列{bn},首项 ,现欲求 。由上结论1可得
(元)
答:五年研究共需要经费大相去甚远 57441.6元。
例2.某射手每射中目标的概率是p(0
解:设X表示转移前的射击次数,由概率知识可得X的概率分布为 , ; ,
这里, , , 。由结论1或1`得:
答:他在转移前平均射击 次。
2、差比数列所有项的和
这时需假定等比数列的公比q满足条件,并记S为差比数列所有项的和。则
其中
(3) ∴
注:D的求和亦可用1中求V的和的方法来实现。
例3.设随机便量ξ服从几何分布:
ξ 求ξ的数学期望
解:据期望的定义有Eξ= ,此和式实际上是一个特殊的差比数列的和,即上面的D,所以Eξ=
3、二次差比数列所有項的和
设βn= ,这里,
所以
该和式中第一和 为一无穷递缩等比数列所有项的和:
;式中第二项即为上面讨论过的差比数列的和D。现在主要来第三个和式的结果。
令 (4)
则 (5)
(4)-(5)得: ∴
将C、D、E的结果代入 中,计算出结果:
例4.设随机变量ξ服从几何分布同例3,求ξ的方差。
解:在例3中已求得Eξ= 。要求得Dξ,还需求出Eξ2。
Eξ2= ,这是一个二次方差等比数列所有项求和问题,用上面(4)式计算结果,
∴Eξ=
∴Dξ= Eξ2-E2ξ=