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2020年高考数学一轮总复习：直线与圆锥曲线的综合问题

[基础梳理]

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定

代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.

方程ax2＋bx＋c＝0的解 b＝0 a＝0 b≠0 Δ>0 a≠0 Δ＝0 Δ<0 2.弦长公式

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k|x1－x2|＝1＋k·?x1＋x2?－4x1x2或|AB|＝1

1＋k2·?y1＋y2?2－4y1y2.

直线与圆锥曲线相交与相切的区别与联系 (1)直线与椭圆相交?有两个交点． 相切?有一个公共点．

(2)直线与双曲线相交时，可以为一个公共点，即直线与渐近线平行；可以为两个公共点，直线与渐近线不平行．直线与双曲线相切时，只有一个公共点． (3)直线与抛物线相交，当直线平行对称轴时，只有一个公共点，当直线与对称轴不平行，有两个公共点．直线与抛物线相切时，只有一个公共点． [四基自测]

1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( ) 4

A．－3

222l与C的交点 无公共点 一个交点 两个交点 一个交点 无交点 无解(含l是双曲线的渐近线) 有一解(含l与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行) 两个不等的解 两个相等的解 无实数解 11＋k2·|y1－y2|＝

B．－1

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3C．－4 答案：C

1D．－2

x22

2．斜率为1的直线l与椭圆4＋y＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( )

45

A．2 B.5 410810C.5 D.5 答案：C

3．已知F1，F2是椭圆16x2＋25y2＝1 600的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为________． 答案：64

y2

4．F是双曲线C：x－3＝1的右焦点，过F作x轴的垂线交双曲线于A、B两

2

点，则|AB|＝________. 答案：6

考点一 弦及弦长问题?考基础——练透

x2y2

[例1] 过椭圆12＋3＝1的右焦点的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝23，则直线AB的方程为( ) A．x＋2y－3＝0 C.2x＋y－3＝0

B.2x±y－3＝0 D．x±2y－3＝0

x2y2

解析：由题意知，椭圆12＋3＝1的右焦点为F(3,0)，设直线AB的方程为x＝ty

x2y2

＋3，代入椭圆方程12＋3＝1中得(t2＋4)y2＋6ty－3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，6t?26t3?22

－?则y1＋y2＝－2，yy＝－2，所以(y1－y2)＝(y1＋y2)－4y1y2＝t2＋4?t＋412t＋4??48?t2＋1?1222＋2＝22，所以|AB|＝?1＋t??y1－y2?＝t＋4?t＋4?

48?t2＋1?22

22＝23，解得t?t＋4?

＝2，所以t＝±2，所以直线AB的方程为x＝±2y＋3，即x±2y－3＝0.选D.

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答案：D

曲线弦的问题，一般是联立方程组，结合根与系数的关系，用直线斜率或纵截距作为主元，注意斜率不存在的情况

如果涉及弦的中点与斜率问题，往往用点差法：点差法的基本步骤是设点（即设出弦的端点坐标）——代入（即代入曲线方程）——作差（即两式相减，求出斜

率，建立关系

xy

1．过椭圆12＋3＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线交椭圆于A、B两点，求|AB|的值．

解析：直线过(3,0)，斜率k＝1，方程为y＝x－3， ?y＝x－3由?2，得x2＋4(x－3)2－12＝0， 2

?x＋4y－12＝0∴5x2－24x＋24＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 2424

∴x1＋x2＝5，x1x2＝5. |AB|＝?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2] ＝242483

?1＋1?·[?5?2－4×5]＝5. 22

x2y2

2．过双曲线3－6＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点． (1)求|AB|；

(2)求△AOB的面积．

解析：(1)由题意得a2＝3，b2＝6，∴c2＝9，∴F2(3,0)．

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