内容发布更新时间 : 2024/11/14 14:44:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。

VI

引言

热传导方程是一类描述物理量随时间的扩散和衰减规律的抛物型微分方程．自然环境、工程设备及生物机体中的许多物理现象，诸如气体的扩散、液体的渗透、热的传导、以及半导体材料中杂质的扩散等都可用热传导方程来描述．由于物理问题本身的复杂性，其精确解往往不容易求得，因此研究其数值求解方法无疑具有非常重要的理论意义和工程应用价值【1】．识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。 求解该问题的数值方法主要有 差分法、有限元法、边界元法等，其中有限差分方法数值求解扩散方程的应用广泛的有效地方法之一。目前求解该问题的主要的差分格式有显式格式，隐式格式，Crank-Nicolson 格式等[1,2,4]。 虽然显式格式计算简单，但是稳定性有所限制，一般隐式格式和Crank-Nicolson 格式分别为一阶和二阶精度的绝对稳定的隐式格式，还显得误差阶不够高， 得到的结果也往往不能令人满意, 考虑到这些不足文[7]中半离散方法构造O??2?h2?格式结果Crank-Nicolson 格式进行比较，在文[10]待定参数法构造精度O??3?h6?的显式格式但是稳定性条件比较苛刻，它文的稳定性条件为r?a?1?，本文热2h6传导方程对空间变量应用紧致格式离散，对时间变量应用梯形方法，构造热传导方程的精度为O??2?h4?的绝对稳定的隐式差分格式，并讨论了稳定性，数值值结果与经典Crank-Nicholson 格式进行比较，数值结果表明,该方法是有效求解扩散方程的数值计算.凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。 本文分为三大部分，第一部分简单介绍热传导方程的经典差分格式，第二部分主要介绍热传导方程的高精度格式的构造和稳定性，第三部分给出具体的数值算例，结果与Crank-Nicolson格式，准确值进行比较，最后给出结论。恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。

1

预备知识

利用下面的各种数值微分公式得到不同的差分格式

u?xj,tn?1??u?xj,tn??2?u?xj?1,tn??u?xj,tn?hu?xj,tn??u?xj?1,tn?h2hh2??u????O??????t?j??u?2???O?????t??jnnnu?xj,tn?1??u?xj,tn?1???u????O?h????x?j??u????O?h????x?j??u?2???Oh????x??j??2u?2???Oh???2?x??jnnn

u?xj?1,tn??u?xj?1,tn?u?xj?1,tn??2u?xj,tn??u?xj?1,tn?截断误差：一般说来，微分方程的解不会精确地满足差分方程。将差分方程中的各个项同时用微分方程的解在相应点的值代入，利用泰勒展开，就会得到一个误差项，这个误差项就是截断误差。鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。 相容性：若时间步长?以及空间步长h同时趋于0，截断误差Rnj?0，就说差分格式与微分方程是相容的。一个差分格式与一个微分方程相容，则表明当

?,h?0时，差分算子与微分算子对任一光滑函数的作用是相同的，所以可用相

容的差分格式近似相应的微分方程，而截断误差则是对这一近似程度的一个度量。硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。 收敛性：考察差分格式在理论上的准确解能否任意逼近微分方程的解。如

n果当时间步长?以及空间步长h趋于0时，enj?u(xj,tn)?uj?0，我们称差分

格式是收敛的，即时间步长?以及空间步长h趋于0时，差分格式的解逼近于微分方程的解。阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。 ?1稳定性：差分格式的计算是逐层计算的，计算第n?1层上的unj时，要用

n?1到第n层上计算出来的结果。计算unj时的舍入误差，必然会影响到uj的值，从

而就要分析这种误差传播的情况。因此，一个有实用价值的数值方法应该具有能够控制这种误差影响的性能，这就是数值方法的稳定性。氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。 精度：如果一个差分格式的截断误差E?O(?q?hp)，就说差分格式对时间t是q阶精度的，对空间x是p阶精度的。

2

Lax 等价定理[5]：给定一个适定的线性初值问题以及与其相容的差分 式，则差分格式的稳定性是差分格式收敛性的充分必要条件。

定理1（von Neumann条件） 微分方程的差分格式稳定的必要条件是当???0，

n??T,对所有k?R有

?j(G(?,k))?1?M? ， j?1,2,?,p

其中G(?,k)为增长因子（或增长矩阵），?j(G(?,k))表示G(?,k)的特征值，M为常数。

定理2 如果差分格式的增长矩阵G(?,k)是正规矩阵，则 von Neumann 条件是差分格式稳定的必要且充分条件。釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。 推论2.1 当G(?,k)为实对称矩阵，酉矩阵，Hermite矩阵时，von Neumann 条件是差分格式稳定的充分必要条件。怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。 推论2.2 当p?1时，即G(?,k)只有一个元素，则von Neumann 条件是差分格式稳定的充要条件。

定理3 如果存在常数K,?0使得

G(?,k)?1?K?， 0????0， 则差分格式是稳定的。

1. 热传导方程的经典差分格式 考虑一维热传导方程的初边界问题：

??u?2u???0,?2?t?x???u(x,0)?f(x),?u(a,t)??(t),???u(b,t)??(t),a?x?b,t?0a?x?bt?0t?0

1.1显式差分格式

u?xj,tn?1??u?xj,tn???u?n?u我们可以对用向前差分???O??? ??t???t?j?2u用二阶差商 ?x2u?xj?1,tn??2u?xj,tn??u?xj?1,tn?h2??2u???2??O?h2? ??x?jn得到差分格式为

3

?1un?unjj?

??nnunj?1?2uj?uj?1h2?0 (1.1.1)

1.1.1显式差分格式的截断误差

证：（用taylor展开）

?un?2?2un??1?u(x,t??t)?u(xj,tn)??[]j?[2]j,(0??1?1)

?t2!?tu?u(xj,tn) unjn?1junj?1?unh2?2unh3?3unh4?4un?u(x??x,t)?u(xj,tn)?h[]j?[2]j?[3]j?[4]j??2?x2!?x3!?x4!?x(0??2?1)?unh2?2unh3?3unh4?4un?u(x??x,t)?u(xj,tn)?h[]j?[]j?[]j?[]j??3?x2!?x23!?x34!?x4(0??3?1)unj?1把上述代入差分格式中，得截断误差为：

?un??2un??1?2unh2?4unh2?4unk(x,t)?[]j?[2]j??{[2]j?[4]j??2?[4]j??3}?t2?t?x24?x24?xnj?un?2un??2un??1h2?4un?4un?{[]j??[2]j}?{[2]j??{[]j??2?[4]j??3}}?t?x2?t24?x4?x ?o(??h2).(0??1,?2,?3?1)2从上述可知，截断误差为knj(x,t)?o(??h)，它对空间方向为一阶截断误差而对

时间方向为二阶截断误差。

1.1.2显式差分格式的稳定性

证：先把差分格式公式(1.1.1)改写为：

?1nnnun?unjj??(uj?1?2uj?uj?1) 其中????h2

nikjh利用稳定性的Fourier方法，令un?ve，并将它代入上式就得到 jvn?1eikjh?vneikjh??(eikj?2?e?ikj)vn

消去共因子有

vn?1?[1??(eikj?2?e?ikj)]vn

由此得到增长因子

4