内容发布更新时间 : 2024/5/13 0:41:40星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
关于最短哥问题的若干见解
马鑫宇
1.不缩点的做法
首先，对于一个图，我们从S点和T点进行两次搜索其到所有顶点的最短路，这些最短路定向后将构成两个定向树（不唯一时，任取其一），根分别为S（出发根）和T（到着根），我们称之为S树和T树。对于两个树，我们分别维护其顶点u的深度为dS[u]和dT[u]。最一开始没有任何删边之前就可以在最短路中用到的边称之为原边，其他边称之为备择边，视实际需要这两个词可能会有不同含义。
现在我们只考虑S树而无视T树。那么显然每当删去S-T路之外的边时我们直接输出最短路即可，而删除S-T路上的边(i,j)（割边）时，T将被隔离在S树的某一个子树中。将(i,j)之外的S树上的边视为原边，不在S树上而能连接被割断的S树和T所在子树的边视为备择边。那么显然，删边后的最短路（备择最短路）一定过至少一条备择边。现在我们证明备择最短路一定只过一个备择边。
定理1：对任意的割边(i,j)，一定存在一条备择最短路（可能不唯一），使存在被割S树上的点u和T子树上的点v，使得备择最短路表示为如下结构：S出发经被割S树上的边
到u，备择边(u,v)，v出发经T树上的点到T；因而其长度为dS[u]+dT[v]+w[u,v]（文中所有定理均假定备择最短路存在）
证明：假设备择最短路为L，且长度小于所有满足上面性质的路。显见L中必定存在至少一条备择边(u,v)，否则割边(i,j)将无法构成S-T割，因为只有T存在于被割S树中才有这种情况，而此时S树上S-T路未被(i,j)割断。我们取(u,v)为最后经过的备择边。现在取新路L2如下：S出发经原边到达u，(u,v)，v出发经T树边到达T。显见L2路径长度不超过L，因为将L拆成3部分：S-u，u-v，v-T后，由最小树性质，其对应部分长度一定不小于L2对应部分的长度。注意因为v和T在被割后相同的S树的子树中，因此T树中v到T的路不会被(i,j)割断，如若不然则有下图：
比较i,j,v三点间的最短路即可得出。L2违背了原假设，因此用反证法得出此定理的前半部分。后半部分显而易见。
显见不在S树中的任何一条边都有机会称为备择边，于
是我们得出枚举备择边的初步想法。取LCA为S树上的最近公共祖先，进一步地，我们得出以下定理：
定理2：若(i,j)割的备择最短路经过备择边(u,v)，则一定有(i,j)在LCA(u,T)到LCA(v,T)的原路上。
证明：显见若不满足此条件，则(u,v)必然在割掉(i,j)之后的同一个子树上，因此不构成备择边。
综上，我们得出以下算法（备择边-LCA-线段树法）： 1.构建S树，计算所有dS和dT，用Tarjan算法初始化LCA
2.对S-T原最短路上的原边维护最小值线段树，将每一条不在S树上的无向边(u,v)拆成一对有向边计算其存在于备择最短路上时备择最短路的长度，更新区间[LCA(u,T),LCA(v,T)]
3.对每次查询，返回其在线段树上对应点的值即是结果
（此算法来自于[1]，详细细节请参见[1]） 依据线段树的摊还复杂度，此算法时间复杂度预估为O((m+Q)lgm)
如果同时考虑S树和T树，我们可以得出以下定理： 定理3：对于每个(i,j)割边，一定存在这样一条备择最短路L，使存在顶点u（备择点）将L分成两个部分：S经S树边到u，和u经T树边到T。此路径长度为dS[u]+dT[u]。
证明：显而易见，此处略去。
定义LCAT和LCAS分别表示T树和S树的最近公共祖先。显见某点u成为备择点仅仅在[LCAT(S,u),LCAS(T,u)]区间内才有可能。
因此我们得到以下算法（备择点-LCA-线段树法）： 1.构建S树和T树，计算所有dS和dT，用Tarjan算法初始化LCAS和LCAT
2.对S-T原最短路上的原边维护最小值线段树，对每一个不在S-T原最短路上的点u，计算其在备择最短路上时的备择最短路长度，更新区间[LCAT(u,S),LCAS(u,T)]
3.对每次查询，返回其在线段树上对应点的值即是结果
（此算法来自于本人比赛后的随感） 依据线段树的摊还复杂度，此算法时间复杂度预估为O((n+Q)lgm)，但目测不如前一个算法高效。
2.强连通缩点法
这种做法是出题人Vani有约会本人给出的解答（[4]），思路无误但是标程被质疑（见[2]），其本人认为的复杂度为O(nlgn)，但根据其代码分析，应该为O(mlgm)。
定义由S出发的SP图如下：有向边(i,j)属于SP当且仅当无向边(i,j)满足dS[i]+w[i,j]=dS[j]。易见此图为有向无环图。
定义到达T的TP图如下：有向边(i,j)属于TP当且仅当无向边(i,j)满足dT[j]+w[i,j]=dT[i]。定义S到T的ST图如下：有向边(i,j)属于
ST
当且仅当无向边(i,j)满足
dS[i]+w[i,j]+dT[j]=dS[T]。
定理4：(1)ST图是SP图和TP图的子图。(2)如果所有边权大于0，则SP图中不含有向圈。（证明略）
定义SP图中的关键边(i,j)如下：删除(i,j)后，在SP中S不能到达j点。ST中的关键边类似。我们有
定理5：ST图的关键边是边无向化后的桥。SP图的关键边包括但不限于无向化后的桥。
证明：我们首先证明第二个。取图如下：
令S=1,T=3。显见SP图定向边集{(1,2),(2,3),(3,4),(1,4)}，关键边集{(1,2),(2,3)}，但无向化之后的图即为原图，三个连通度全为2，证完。
然后在证明第一个，假设ST图中的边(i,j)是关键边，但不是无向化后的桥。因此删去边(i,j)后，任意取一条无向化ST图中的S-T路L，其中必定包括一条边(u,v)，其在ST图