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第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛

高二 第2试

2010年4月11日 上午9:00至11:00 得分

校名______ 班_________ 姓名________ 辅导老师_________ 成绩_____

一、选择题（每小题4分， 共40分）以下每题的四个选项中， 仅有一个是正确的，请将你认为正确答案的英文字母写在下面的表格中。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 共得分 答案 1．已知不等式|x?a|?|x?b|?1（其中a,b是常数）的解集是空集，则|a?b|的取值范围是（ ）

(A) [0,1]． (B) (0, l) . (C)[l , +∞) . (D) (1, +∞).

2．若函数y?x2?ax?1(a?R)在区间[?3,?2]上单调递减，则a的取值范围是（ ）

(A)[1, +∞）. ( B)[-2, 0) . (C) (-∞，-3)． (D)（-∞，-27] 3．不等式2x?4sinx?1的整数解的个数是（ ）

(A) 1. (B) 2 . (C) 3 . ( D)无穷多．

????????????4．若向量AB= (3, 4) , d =(-1, 1)，且d·AC=5，那么 d·BC=( )

( A ) 0 . ( B ) 4 . (C)-4 . ( D ) 4 或-4 . 5．Given the general term formula of sequence {an} is an?n?(??{an} is an increasing sequence , then the minimum of ? is ( ) (A) 2 . (B) 3 . (C) 4 . (D) 5 .

?sinx?36．已知x?[0,]，M?3333cosx2112)n?3.If ??Zand

，则M2的最小值是（ ）

3(A) 23. (B) 3． (C) 3. (D) 4?3．

7．从1, 2, 3,4, 5, 6这六个数字中取三个，以替换直线方程ax?by?c?0中的a,b,c,使直线与圆x?y?1相离，这样的直线有（ ）

(A) 34 条． (B) 36 条． (C) 18 条． (D) 17 条．

8．棱长相等的正四棱锥的相邻侧面所成的二面角的正切值等于（ ）

(A) ?13223?1. (B) ?22232. (C)- ?22. (D) 22.

29．已知C：x?(y?sin??sin3??2coscos?122)?r与y?sinx的图象有唯一交点，且交点的横坐标为?，则

?的值等于（ ）

12 (A)-4?. (B)-2?. (C)- ??. (D) 4?.

10．已知点M在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1上，且BB1=3BM，点P在底面ABCD

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内．若∠APA1=∠BPM，则点P的轨迹是（ ）

(A)圆的一部分． (B)椭圆的一部分．(C)双曲线的一部分．(D)抛物线的一部分． 二、 填空题（每小题4分， 共40分）

11．若向量a≠e , | e |=1,对任意的t?R,| a- te |≥| a-e |成立，则a·e = . 12．如果函数y?ex的图象与直线y?kx(k?0)只有一个交点，则k= . 13．数列｛an｝中，a1?p,a2?q(p?q)，当n?3时，an?an?1?an?2,则a2010= . 14．已知函数f(x)?f'(?6)cosx?sinx，则f(?4)的值是 .

15．如图1，以正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点C为顶点截得一个底面是正三角形的三棱锥C- EFG，设棱锥底面EFG与正方体对角线A1C的交点是M.若CE:CB=1:3，则CM:CA1= . 16．已知a,b?R?，且ab?2，则

b2?a2?a2?b2的最小值是 .

17．已知向量x 满足方程2x2+3a·x + 1=0,其中a =(1,2)，则 . 18．A line passes through point P (l，-1) intersects with parabola y?x2, at pointsA, B equation of the locus of AB's midpoint is . 一 e一 th

19．如图2，一块材质均匀的圆形金属薄片（不计厚度）用圆域

x?y?64表示，从中挖掉的两个小圆洞分别用圆域(x?2)?(y?4)?4和(x?3)?(y?2)?9表示（圆心依次为

222222 图 1 A、B) ，则剩下部分的重心坐标是 . 20．过双曲线

?2?1的右焦点的直线交双曲线的右支于A、B两2ab点，设F是双曲线的左焦点，e是双曲线的离心率，若△ABF是等腰

x2y2 图 2 直角三角形，且?A?90，则e2= . 三、解答题（每题都要写出推导过程）

?21. （本题满分10分）已知函数f(x)?x?bx?cx?d的图象经过点 A（-1, 2) ，且在点A处的切线方程为3x?y?1?0，y?f(x)的图象与y轴的交点位于坐标原点的下方，y?f(x)在x?x1与

x?x2处取得极值，且|x1?x2|?22．求：

32(l)函数f(x)的解析表达式； (2)函数f(x)的单调区间．

图 3

22.（本题满分15分）如图3，正四面体ABCD的棱长是1，P是△

BCD的中心，M、N分别在面ABD、ACD上运动．求△PMN的周长的最小值． 23.（本题满分15分）椭圆

x22 ab直线交椭圆于A、B两点，且△FAB周长的最大值为8.

(1)求 a,b的值；

?y22?1(a?b?0)的右焦点为 F (1, 0) ，过点 P (0,2）的

(2)若点 Q (1, 2)，求△QAB面积的最大值．

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