内容发布更新时间 : 2024/4/20 15:56:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

6 工程数学 概率统计简明教程（第二版）

13. 设事件A与B相互独立，且P(A)?p，P(B)?q.求下列事件的概率：

P(A?B),P(A?B),P(A?B).

14. 已知事件A与B相互独立，且P(AB)?1，P(AB)?P(AB).求：P(A),P(B). 915. 三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4，求此密码被译出的概率.

16. 设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中.设每个元件不通达的概率为p，求这个装置通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独立的.

*17. （配对问题）房间中有n个编号为1~n的座位.今有n个人（每人持有编号为1~n的票）随机入座，求至少有一人持有的票的编号与座位号一致的概率. （提示：使用概率的性质5的推广，即对任意n个事件A1,A2,?,An，有

?n?nP??Ak???P(Ak)??P(AiAj)??1?i?j?n?k?1?k?1?(?1)k?11?i1?i2???ik?n

?P(Ai1?Aik)???(?1)n?1P(A1?An).)*18. （波利亚（Pólya）罐子模型）罐中有a个白球，b个黑球，每次从罐中随机抽取

一球，观察其颜色后，连同附加的c个同色球一起放回罐中，再进行下一次抽取.试用数学归纳法证明：第k次取得白球的概率为

a（k?1为整数）（提示：.记Ak?{第k次取得白球}，a?b使用全概率公式P(Ak)=P(A1)P(AkA1)+P(A1)P(AkA1)及归纳假设.）

19. 甲乙两人各自独立地投掷一枚均匀硬币n次，试求：两人掷出的正面次数相等的概率.

20. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率.

21. 灯泡耐用时间在1 000 h以上的概率为0.2，求：三个灯泡在使用1 000 h以后最多只有一个坏了的概率.

22. 某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：（1）在此时刻所有电梯都在运行的概率；

（2）在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； （3）在此时刻至少有1台电梯在运行的概率.

23. 设在三次独立试验中，事件A在每次试验中出现的概率相同.若已知A至少出现一次的概率等于

19，求事件A在每次试验中出现的概率P(A). 27*24. 设双胞胎中为两个男孩或两个女孩的概率分别为a及b.今已知双胞胎中一个是男孩，求另一个也是男孩的概率.

习题三

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25. 两射手轮流打靶，谁先进行第一次射击是等可能的.假设他们第一次的命中率分别为0.4及0.5，而以后每次射击的命中率相应递增0.05，如在第3次射击首次中靶，求是第一名射手首先进行第一次射击的概率.

26. 袋中有2n-1个白球和2n个黑球，今随机（不放回）抽取n个，发现它们是同色的，求同为黑色的概率.

*27. 3个外形相同但可辨别的球随机落入编号1~4的四个盒子， （1）求恰有两空盒的概率；

（2）已知恰有两空盒，求有球的盒子的最小编号为2的概率.

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工程数学 概率统计简明教程（第二版）

习题四

1. 下列给出的数列，哪些可作为随机变量的分布律，并说明理由. （1）pi?i(i?0,1,2,3,4,5)； 15(5?i2)（2）pi?(i?0,1,2,3)；

6（3）pi?i?1(i?1,2,3,4,5). 25C(i?0,1,2,3,4)成为某个随机变量X的分布律，并i2

2. 试确定常数C，使P(X?i)?5??1求：（1）P(X?2)；（2）P??X??；（3）F(3)（其中F（·）为X的分布函数）.

2??23. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字.从这口袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数.

4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5.从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数.

5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律.

6. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件地抽取产品.设每次抽取时，所面对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律：

（1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2）每次取出的产品都不放回这批产品中；

（3）每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.

7. 设随机变量X~B(6,p)，已知P(X?1)?P(X?5)，求p与P(X?2)的值. 8. 一张试卷印有十道题目，每个题目都为四个选项的选择题，四个选项中只有一项是正确的.假设某位学生在做每道题时都是随机地选择，求该位学生未能答对一道题的概率以及答对9道以上（包括9道）题的概率.

9． 市120接听中心在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为0.5t的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计算）：

求：（1）某天中午12点至下午3点没有收到紧急呼救的概率； （2）某天中午12点至下午5点至少收到1次紧急呼救的概率.

10． 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数??4的泊松分布.问在月初进货时，要进多少才能以99％的概率充分满足顾客的需要？

11. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.000 1.在某天该段时间内有1 000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率.

12. 设鸡下蛋数X服从参数为?的泊松分布，但由于鸡舍是封闭的，我们只能观察到从鸡舍输出的鸡蛋.记Y为观察到的鸡蛋数，即Y的分布与给定X>0的条件下X的分布相同，今求Y的分布律.

习题四

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（提示：P(Y?k)?P(X?kX?0),对于k?1,2,?.）

13. 袋中有n把钥匙，其中只有一把能把门打开，每次抽取一把钥匙去试着开门.试在：（1）有放回抽取；（2）不放回抽取两种情况下，求首次打开门时试用钥匙次数的分布律.

14. 袋中有a个白球、b个黑球，有放回地随机抽取，每次取1个，直到取到白球停止抽取，X为抽取次数，求P(X?n).

15. 据统计，某高校在2010年上海世博会上的学生志愿者有6 000名，其中女生3 500名.现从中随机抽取100名学生前往各世博地铁站作引导员，求这些学生中女生数X的分布律.

?2x,0?x?A,16. 设随机变量X的密度函数为f(x)??试求：（1）常数A（;2）P(0?X?0.5).

0,其他,?17． 设随机变量X的密度函数为f(x)?Ae(???x???)，求：（1）系数A；（2）P(0?X?1)；（3）X的分布函数.

?x?x?e2c,x?0,18． 证明：函数f(x)??c（c为正的常数）可作为一个密度函数.

?0,x?0,?2?x19. 经常往来于某两地的火车晚点的时间X（单位：min）是一个连续型随机变量，其

密度函数为

?3(25?x2),?5?x?5,? f(x)??500?0,其他.?X为负值表示火车早到了.求火车至少晚点2 min的概率.

0,x?0,?20. 设随机变量X的分布函数为F(x)??求X的密度函数，并计算?x1?(1?x)e,x?0,?P(X?1)和P(X?2).

21. 设随机变量X在(1,6)上服从均匀分布，求方程t2?Xt?1?0有实根的概率. 22. 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，证明：对于a?0,b?0,a?b?1，

P(a?X?b)?b?a，并解释这个结果.

23. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（单位：min）是一随机变量，它服从??15x?1?5?e,x?0,的指数分布，其密度函数为f(x)??5某顾客在窗口等待服务，若超过10 min，他

,其它.?0?10

工程数学 概率统计简明教程（第二版）

就离开.

（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；

（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务而离开的概率. 24. 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（单位：min），

?1?e?0.2x,x?0,X的分布函数是F(x)??

其他.?0,求：（1）X的密度函数；（2）P（至多等待2 min）；（3）P（至少等待4 min）；（4）P（等

待2 min至4 min之间）；（5）P（等待至多2 min或至少4 min）.

25. 设随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx(???x???)，求：（1）常数A，B；（2）P(X?1)；（3）随机变量X的密度函数.

26. 设随机变量X服从N(0,1)，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）P(X?2.2);（2）P(X?1.76);（3）P(X??0.78);（4）P(X?1.55);（5）P(X?2.5);（6）确定a，使得P(X?a)?0.99.

27. 设随机变量X服从N(?1,16)，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）P(X?2.44);（2）P(X??1.5);（3）P(X??2.8);（4）P(X?4);（5）

P(?5?X?2);（6）P(X?1?1);（7）确定a，使得P(X?a)?P(X?a).

28. 设随机变量X服从正态分布N(?,?)，且二次方程t2?4t?X?0无实根的概率为

21，求?的值. 229. 某厂生产的滚珠直径X服从正态分布N(2.05,0.01)，合格品的规格规定直径为

2?0.2，求滚珠的合格率.

30. 某人上班路上所需的时间X~N(30,100)（单位：min），已知上班时间是8：30.他每天7：50分出门，求:（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率.