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高中物理竞赛习题 专题一：质点运动学（含详解）

高总物理竞赛习题专题一：质点运动学

一．选择题

1.如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率v0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v,则小船作( )

(A) 匀加速运动,v?v0 cosθ(B) 匀减速运动,v?v0cosθ (C) 变加速运动,v?v0cosθ

( D) 变减速运动,v?v0cosθ (E) 匀速直线运动,v?v0 答案：C

2.如上题图1-5，此时小船加速度为（ ）

v(v0tan?)2(v0tan?)2A.0 B. C. D.0

cos?lcos?l答案：B

3.地面上垂直竖立一高20.0 m 的旗杆,已知正午时分太阳在旗杆的正上方,求在下午2∶00 时,杆顶在地面上的影子的速度的大小为（ ）

A.1.94?10-3m/s B.1.94?10?4m/s C.0 D.3.0?10?5m/s 答案：A

解析：设太阳光线对地转动的角速度为ω,从正午时分开始计时,则杆的影长为s＝htgωt,下午2∶00 时,杆顶在地面上影子的速度大小为

v?

dshω?3?1??1.94?10m?s dtcos2ωt二．计算题

4.质点沿直线运动,加速度a＝4 -t2 ,式中a的单位为m·ｓ-2 ,t的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1 ,求质点的运动方程．

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高中物理竞赛习题 专题一：质点运动学（含详解）

解析： 由分析知,应有

t13dv?adtv?4t?t?v0 (1) 得 ?v0?03v 由

?xx0dx??vdt 得 x?2t2?0t14t?v0t?x0 (2) 12将t＝3ｓ时,x＝9 m,v＝2 m·ｓ-1代入(1) (2)得v0＝-1 m·ｓ-1,x0＝0.75 m．于是可得质点运动方程为

x?2t2?

14t?0.75 125.一石子从空中由静止下落,由于空气阻力,石子并非作自由落体运动,现测得其加速度a＝A -Bv,式中A、B 为正恒量,求石子下落的速度和运动方程．

解析：本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v的函数,因此,需将式dv ＝a(v)dt 分离变量为

dv?dt后再两边积分． a(v)解：选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点． (1) 由题意知 a?用分离变量法把式(1)改写为

dv?A?Bv (1) dtdv?dt (2)

A?Bv将式(2)两边积分并考虑初始条件,有

vtdvdv??dt

0A?Bv?v0得石子速度 v?由此可知当,t→∞时,v?(2) 再由v?A(1?e?Bt) BA为一常量,通常称为极限速度或收尾速度． BdyA?(1?e?Bt)并考虑初始条件有 dtB?y0dy??A(1?e?Bt)dt 0Bt得石子运动方程

y?

AAt?2(e?Bt?1) BB2 / 6

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6.质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为r＝2.0ti ＋(19.0 -2.0t2 )j,式中r 的单位为m,t的单位为s．求：(1)质点的轨迹方程；(2) 在t1＝1.0s 到t2 ＝2.0s 时间内的平均速度；(3) t1 ＝1.0ｓ时的速度及切向和法向加速度；(4) t ＝1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径ρ．

解析：根据运动方程可直接写出其分量式x ＝x(t)和y ＝y(t),从中消去参数t,即得质点的轨迹方程．平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率,即v?隔Δt 的大小有关,当Δt→0 时,平均速度的极限即瞬时速度v?Δr,它与时间间Δtdr．切向和法向加速度是dt指在自然坐标下的分矢量aｔ 和an ,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率,即

at?dvte,后者只反映质点速度方向的变化,它可由总加速度a 和aｔ 得到．在求得t1 时dtv2刻质点的速度和法向加速度的大小后,可由公式an?求ρ．

ρ解 (1) 由参数方程 x ＝2.0t, y ＝19.0-2.0t2 消去t 得质点的轨迹方程： y ＝19.0 -0.50x2

(2) 在t1 ＝1.00ｓ 到t2 ＝2.0ｓ时间内的平均速度

v?Δrr2?r1??2.0i?6.0j Δtt2?t1(3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为

v(t)?vxi?vyj?dxdyi?j?2.0i?4.0tj dtdtd2xd2ya(t)?2i?2j??4.0m?s?2j

dtdt则t1 ＝1.00ｓ时的速度 v(t)｜t ＝1ｓ＝2.0i -4.0j 切向和法向加速度分别为

att?1s?dvd2?2et?(vx?v2y)et?3.58m?set dtdtan?a2?at2en?1.79m?s?2en

(4) t ＝1.0ｓ质点的速度大小为

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2?1v?vx?v2y?4.47m?s

v2?11.17m 则ρ?an8.已知质点的运动方程为r?2ti?(2?t)j,式中r 的单位为m,t 的单位为ｓ．求： (1) 质点的运动轨迹；

(2) t ＝0 及t ＝2ｓ时,质点的位矢；

(3) 由t ＝0 到t ＝2ｓ内质点的位移Δr 和径向增量Δr； *(4) 2 ｓ 内质点所走过的路程s．

分析 质点的轨迹方程为y ＝f(x),可由运动方程的两个分量式x(t)和y(t)中消去t 即可得到．对于r、Δr、Δr、Δs 来说,物理含义不同,可根据其定义计算．其中对s的求解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元ds,则ds?分求ｓ．

解 (1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得质点轨迹方程为

2(dx)2?(dy)2,最后用s??ds积

1y?2?x2

4这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示．

(2) 将t ＝0ｓ和t ＝2ｓ分别代入运动方程,可得相应位矢分别为

r0?2j , r2?4i?2j

图(a)中的P、Q 两点,即为t ＝0ｓ和t ＝2ｓ时质点所在位置． (3) 由位移表达式,得

Δr?r2?r1?(x2?x0)i?(y2?y0)j?4i?2j

其中位移大小Δr?(Δx)2?(Δy)2?5.66m

2222x2?y2?x0?y0?2.47m

而径向增量Δr?Δr?r2?r0?*(4) 如图(B)所示,所求Δs 即为图中PQ段长度,先在其间任意处取AB 微元ds,则

1ds?(dx)2?(dy)2,由轨道方程可得dy??xdx,代入ds,则2ｓ内路程为

2s??ds??PQ404?x2dx?5.91m

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高中物理竞赛习题 专题一：质点运动学（含详解）

9.一质点P 沿半径R ＝3.0 m的圆周作匀速率运动,运动一周所需时间为20.0ｓ,设t ＝0 时,质点位于O 点．按(a)图中所示Oxy 坐标系,求(1) 质点P 在任意时刻的位矢；(2)5ｓ时的速度和加速度．

分析 该题属于运动学的第一类问题,即已知运动方程r ＝r(t)求质点运动的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度)．在确定运动方程时,若取以点(0,3)为原点的O′x′y′坐标系,并采用参数方程x′＝x′(t)和y′＝y′(t)来表示圆周运动是比较方便的．然后,运用坐标变换x ＝x0 ＋x′和y ＝y0 ＋y′,将所得参数方程转换至Oxy 坐标系中,即得Oxy 坐标系中质点P 在任意时刻的位矢．采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度．

解 (1) 如图(B)所示,在O′x′y′坐标系中,因θ?2πt,则质点P 的参数方程为 T5 / 6