内容发布更新时间 : 2026/6/27 2:08:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
三角函数与解三角形
热点一 三角函数的图象和性质
注意对基本三角函数y＝sin x，y＝cos x的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.
x
【例1】已知函数f(x)＝sin x－23sin22. (1)求f(x)的最小正周期；
2π??
(2)求f(x)在区间?0，?上的最小值.
3??(1)解 因为f(x)＝sin x＋3cos x－3. ?π?＝2sin?x＋?－3.
3??
所以f(x)的最小正周期为2π. 2π
(2)解 因为0≤x≤3， ππ
所以3≤x＋3≤π.
π2π当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值.
332π???2π?
所以f(x)在区间?0，?上的最小值为f??＝－3.
3???3?【类题通法】求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B周期与最值的模板
第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式； 第二步：由T＝
求最小正周期； |ω|2π
第三步：确定f(x)的单调性；
第四步：确定各单调区间端点处的函数值；
第五步：明确规范地表达结论.
3
【对点训练】 设函数f(x)＝2－3sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)的π
图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4. (1)求ω的值； 3π??(2)求f(x)在区间π，
2?
?
?上的最大值和最小值. ?
3
解 (1)f(x)＝2－3sin2ωx－sin ωxcos ωx 1－cos 2ωx13
＝2－3·－2sin 2ωx
2π?31?
＝2cos 2ωx－2sin 2ωx＝－sin?2ωx－?.
3??
π
因为y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4，故该函数的周期π
T＝4×4＝π. 又ω＞0，所以
2π
＝π，因此ω＝1. 2ω
π??
(2)由(1)知f(x)＝－sin?2x－?.
3??
π
设t＝2x－3，则函数f(x)可转化为y＝－sin t. 3π5ππ8π
当π≤x≤2时，3≤t＝2x－3≤ 3，
?5π8π?
如图所示，作出函数y＝sin t在?，3? 上的图象，
?3?
??5π8π?3??时，sin t∈?－，1?， 由图象可知，当t∈?，3??3?2?
π?33?
故－1≤－sin t≤2，因此－1≤f(x)＝－sin?2x－?≤2.
3??3π?3?
故f(x)在区间?π，?上的最大值和最小值分别为2，－1.
2??热点二 解三角形
高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.
cos Acos Bsin C
【例2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＋b＝c. (1)证明：sin Asin B＝sin C； 6
(2)若b2＋c2－a2＝5bc，求tan B. (1)证明 在△ABC中，根据正弦定理， abc
可设sin A＝sin B＝sin C＝k(k>0). 则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C. cos Acos Bsin C
代入a＋b＝c中， cos Acos Bsin C
有ksin A＋ksin B＝ksin C，变形可得
sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B). 在△ABC中，由A＋B＋C＝π， 有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 所以sin Asin B＝sin C.
6
(2)解 由已知，b2＋c2－a2＝5bc，根据余弦定理，有 b2＋c2－a23
cos A＝2bc＝5. 4所以sin A＝1－cos2A＝5.