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2005年考研数学（三）真题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在横线上）
（1）极限limxsinx??2x= . 2x?1（2） 微分方程xy??y?0满足初始条件y(1)?2的特解为______. （3）设二元函数z?xex?y?(x?1)ln(1?y)，则dz(1,0)?________. （4）设行向量组(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，(4,3,2,1)线性相关，且a?1，则a=_____. （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数，记为Y, 则
P{Y?2}=______.
（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1
已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立，则a= ， b= .
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）当a取下列哪个值时，函数f(x)?2x?9x?12x?a恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设I1?2222222cosx?yd?,,I?cos(x?y)d?I?cos(x?y)d?,其中 23??????D32DDD?{(x,y)x2?y2?1}，则
(A) I3?I2?I1. （B）I1?I2?I3.
(C) I2?I1?I3. (D) I3?I1?I2. [ ] （9）设an?0,n?1,2,?,若
??an?12n
?n发散，
?(?1)n?1?n?1an收敛，则下列结论正确的是
?
? (A)
?an?1?2n?1收敛，
?a
n?1
?
发散 . （B）
?a
n?1
2n
收敛，
?an?12n?1发散.
(C)
?(an?12n?1?a2n)收敛. (D)
?(an?1?2n?1?a2n)收敛. [ ]
（10）设f(x)?xsinx?cosx,下列命题中正确的是
(A) f(0)是极大值，f()是极小值. （B） f(0)是极小值，f()是极大值.
??22（C） f(0)是极大值，f()也是极大值. (D) f(0)是极小值，f()也是极小值.
??22[ ]
（11）以下四个命题中，正确的是
(A) 若f?(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B）若f(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C）若f?(x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.
(D) 若f(x)在（0，1）内有界，则f?(x)在（0，1）内有界. [ ]
（12）设矩阵A=(aij)3?3 满足A?A，其中A是A的伴随矩阵，A为A的转置矩阵. 若a11,a12,a13为三个相等的正数，则a11为
*T*T(A)
31. (B) 3. (C) . (D) 333. [ ]
（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1??2)线性无关的充分必要条件是
(A) ?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ]
（14） 设一批零件的长度服从正态分布N(?,?)，其中?,?均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值x?20(cm)，样本标准差s?1(cm)，则?的置信度为0.90的置信区间是
221111t0.05(16),20?t0.05(16)). (B) (20?t0.1(16),20?t0.1(16)). 44441111(C)(20?t0.05(15),20?t0.05(15)).(D)(20?t0.1(15),20?t0.1(15)). [ ]
4444(A) (20?三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15）（本题满分8分） 求lim(x?01?x1?).
1?e?xx（16）（本题满分8分）
22yx2?g2?g设f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y)?f()?yf()，求x?y. 22xy?x?y（17）（本题满分9分） 计算二重积分
??Dx2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.
（18）（本题满分9分） 求幂级数
?(n?1?1?1)x2n在区间(-1,1)内的和函数S(x). 2n?1（19）（本题满分8分）
设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,f?(x)?0,g?(x)?0.证明：对任何a?[0,1],有
?a0g(x)f?(x)dx??f(x)g?(x)dx?f(a)g(1).
01（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组
?x1?2x2?3x3?0,? （i） ?2x1?3x2?5x3?0,
?x?x?ax?0,23?1和
x1?bx2?cx3?0,?（ii） ? 22x?bx?(c?1)x?0,23?1同解，求a,b, c的值.
（21）（本题满分13分）
设D???AT?CC?为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m?n矩阵. ?B??A?1C??； En?T?1?EmT(I) 计算PDP，其中P???o（II）利用(I)的结果判断矩阵B?CAC是否为正定矩阵，并证明你的结论.