内容发布更新时间 : 2025/5/11 0:01:57星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
考点： 专题： 分析： 解答： 利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件． 计算题；综合题；压轴题；分类讨论． （Ⅰ）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）（fx）随x的变化情况即可求出函数的单调区间； （Ⅱ）假设存在a，使得k=2﹣a，根据（I）利用韦达定理求出直线斜率为k，根据（I）函数的单调性，推出矛盾，即可解决问题． 解：（I）f（x）定义域为（0，+∞）， f′（x）=1+， 令g（x）=x2﹣ax+1，△=a2﹣4， ①当﹣2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增， ②当a＜﹣2时，△＞0，g（x）=0的两根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增， ③当a＞2时，△＞0，g（x）=0的两根为x1=，x2=， 当0＜x＜x1时，f′（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0；当x＞x2时，f′（x）＞0； 故f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减． （Ⅱ）由（I）知，a＞2． 因为f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+﹣a（lnx1﹣lnx2）， 所以k==1+﹣16
a， 又由（I）知，x1x2=1．于是 k=2﹣a， 若存在a，使得k=2﹣a，则即lnx1﹣lnx2=x1﹣x2， 亦即再由（I）知，函数+∞）上单调递增， 而x2＞1， 所以=1， （*） 在（0，＞1﹣1﹣2ln1=0，这与（*）式矛盾， 故不存在a，使得k=2﹣a． 点评： 此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程f'（x）=0有无实根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，其中问题（II）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力． 8．（2011?江西）设（1）若f（x）在
上存在单调递增区间，求a的取值范围．
，求f（x）在该区间上的最大值．
（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为
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考点： 专题： 分析： 解答： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 计算题． （1）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0． （2）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值． 解：（1）f′（x）=﹣x2+x+2a f（x）在存在单调递增区间 ∴f′（x）＞0在有解 ∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为 ∴递减 ∴ 解得． （2）当0＜a＜2时，△＞0； f′（x）=0得到两个根为；（舍） ∵ ∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0 当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4） 18
=8a＜f（1） =解得a=1 时最大为 当x=4时最小∴所以当x=点评： 本题考查利用导函数求参数的范围、利用导函数求函数的单调性、求函数的最值． 9．（2011?江西）设f（x）=x+mx+nx．
（1）如果g（x）=f′（x）﹣2x﹣3在x=﹣2处取得最小值﹣5，求f（x）的解析式；
（2）如果m+n＜10（m，n∈N），f（x）在单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．（注：区间（a，b）的长度为b﹣a） 考点： 利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；利用导数求闭区间上函数的最值． 32
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专题： 分析： 压轴题． （1）先由导数知识求出g（x），然后利用配方法把二次函数g（x）表示成顶点式，再根据g（x） 在x=﹣2处取得最小值﹣5，可列方程组求得m、n的值，则问题解决． 2（2）首先求出（fx）的导函数f′（x）=x+2mx+n（二次函数），然后根据f（x）的单调递减区间的长度是正整数，可判断函数f′（x）2=x+2mx+n有